§ 46. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость – это система двух перпендикулярных числовых прямых, которые пересекаются в одной точке. Эта точка называется началом координат и обозначается O. Координатная плоскость позволяет нам точно определять положение любой точки на плоскости.

Ось абсцисс (ось x) – это горизонтальная числовая прямая. На ней откладываются абсциссы точек. Абсцисса показывает, насколько нужно сместиться вправо или влево от начала координат, чтобы попасть в эту точку. Она нужна для определения горизонтального положения точки.

Ось ординат (ось y) – это вертикальная числовая прямая. На ней откладываются ординаты точек. Ордината показывает, насколько нужно сместиться вверх или вниз от начала координат, чтобы попасть в эту точку. Она нужна для определения вертикального положения точки.

Координаты точки – это пара чисел (x; y), которые указывают положение точки на координатной плоскости. Первое число (x) называется абсциссой, а второе (y) – ординатой. По координатам мы можем однозначно определить положение точки и наоборот.

Как это устроено

Исторически, необходимость координатной плоскости возникла из задачи точного определения местоположения. До этого использовали только расстояния и углы, что было крайне неудобно. Идея использовать две перпендикулярные оси возникла, чтобы сделать описание положения точек максимально простым и однозначным.

Выбор двух перпендикулярных осей позволяет представлять любую точку как результат двух перемещений: вдоль оси x и вдоль оси y. Перемещение по оси x определяет горизонтальное положение точки, а перемещение по оси y – вертикальное. Благодаря этому любому точке можно поставить в соответствие однозначную пару чисел.

Абсцисса точки показывает, на каком расстоянии и в каком направлении (вправо или влево) от начала координат находится точка по оси x. Положительная абсцисса означает смещение вправо, отрицательная – влево. Зная абсциссу, мы можем определить горизонтальное положение точки относительно начала координат.

Ордината точки показывает, на каком расстоянии и в каком направлении (вверх или вниз) от начала координат находится точка по оси y. Положительная ордината означает смещение вверх, отрицательная – вниз. Зная ординату, мы можем определить вертикальное положение точки относительно начала координат.

Знаки абсциссы и ординаты определяют, в каком квадранте находится точка. Это упрощает анализ и решение задач, связанных с положением точек на плоскости. Деление на квадранты помогает систематизировать информацию и быстрее находить решения.

Квадранты координатной плоскости и знаки координат

Эта таблица показывает, какие знаки имеют координаты точек в каждом из четырех квадрантов. Используйте её, чтобы быстро определить квадрант, в котором находится точка, и наоборот.

Разбор задач

Задача 1: Постройте точку A(3; -2) на координатной плоскости.

1. Найдите на оси x точку с координатой 3. Это будет 3 единичных отрезка вправо от начала координат.
2. Из этой точки проведите перпендикуляр вниз на 2 единичных отрезка по оси y. Так как координата –2 отрицательная, мы движемся вниз.
3. Поставьте точку A в месте пересечения перпендикуляра и оси y.

Ответ: Точка A построена.

Задача 2: Определите координаты точки B, если она находится на оси y и её ордината равна 5.

1. Точка B находится на оси y, значит ее абсцисса равна 0.
2. Ордината точки B равна 5, значит ее координаты (0; 5).

Ответ: Координаты точки B (0; 5).

Задача 3: Точка C имеет абсциссу -4 и лежит во II квадранте. Определите её ординату, если известно, что её расстояние от оси x равно 6.

1. Точка C находится во II квадранте, а ее абсцисса отрицательная (-4).
2. Расстояние от точки C до оси x равно 6, это означает, что модуль ординаты равен 6.
3. Так как точка C находится во II квадранте, ее ордината должна быть положительной. Значит, ордината равна 6.

Ответ: Ордината точки C равна 6.

Типичные ошибки

Перепутывание абсциссы и ординаты: Многие ученики путают, какая координата относится к оси x, а какая – к оси y. Чтобы избежать этой ошибки, всегда начинайте с оси x (горизонтальной) и запоминайте: абсцисса – это горизонтальное положение, ордината – вертикальное.

Неправильное определение квадранта: Ошибка возникает из-за неверного определения знаков координат. Перед определением квадранта внимательно смотрите на знаки абсциссы и ординаты. Используйте таблицу, чтобы не запутаться.

Ошибки при построении точки: Часто ученики неправильно отсчитывают единичные отрезки или забывают о знаках координат. Будьте внимательны при построении точек и всегда проверяйте, правильно ли вы отсчитали от начала координат.

Забывание про координату равную нулю: Ученики часто забывают, что точки, лежащие на осях координат, имеют одну координату равную нулю. Всегда помните об этом, когда работаете с точками на осях.

Связь с другими темами

Понятие числовой прямой: Координатная плоскость является расширением понятия числовой прямой. Умение работать с числами, определять их знаки и сравнивать – важный навык для успешной работы с координатной плоскостью.

Применение координат в геометрии: Координаты используются для решения различных геометрических задач, например, при вычислении расстояний между точками, определении площади фигур и построении графиков функций. Знание координат позволяет связать алгебру и геометрию.

Что запомнить

• Координатная плоскость состоит из двух взаимно перпендикулярных осей – x и y.
• Координаты точки записываются в виде (x; y).
• Знак координат точки определяет, в каком квадранте она находится.
• Точки на осях координат имеют одну координату равную нулю.
• Абсцисса – это координата по оси x, ордината – координата по оси y.
• Понимание квадрантов и знаков координат необходимо для решения задач геометрии.
• Для построения точки по координатам начинайте с оси x, затем двигайтесь вдоль оси y.