§ 46. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость, на которой положение точки задают с помощью двух перпендикулярных координатных осей. Чтобы отметить точку, выбирают её координаты и находят место, где соответствующие направления пересекаются. Такая запись позволяет точно передавать положение точки и сравнивать его с положением других точек.

Координатные оси обозначают Ox и Oy, а их общая точка O называется началом координат. Обычно положительное направление Ox идёт вправо, а положительное направление Oy — вверх; противоположные направления считаются отрицательными. Оси нужны, чтобы измерять положение точки по двум направлениям от одной общей точки отсчёта.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), которая показывает её положение на плоскости. Первое число x называют абсциссой, второе число y — ординатой. Порядок важен: абсцисса относится к Ox, а ордината — к Oy, поэтому пара позволяет однозначно найти точку.

Координатная четверть — одна из четырёх областей, на которые плоскость делят оси. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с области справа и выше начала координат. Знаки координат в четвертях помогают быстро понять, в какую сторону от осей расположена точка.

Как это устроено

Одной числовой прямой недостаточно, чтобы указать положение точки на листе: она сообщает только расстояние и направление вдоль одной линии. Вторая ось добавляет ещё одно направление, а прямой угол между осями не даёт им смешиваться. Общая точка O нужна как единое начало отсчёта, а выбранные положительные направления позволяют различать движение в обе стороны.

Пара (x; y) задаёт точку двумя последовательными шагами. Сначала от O откладывают абсциссу x вдоль Ox: вправо при положительном значении и влево при отрицательном. Затем от полученного места идут параллельно Oy на величину y — вверх при положительном значении и вниз при отрицательном; место, куда пришли, и есть нужная точка.

Если точка уже изображена, её координаты можно восстановить, потому что через неё проходят направления, параллельные каждой оси. Проведите мысленно горизонтальную линию до Oy и вертикальную до Ox, а затем считайте значения по делениям. Сначала считывают x по Ox, потом y по Oy; этот порядок сохраняет смысл записи пары.

Перестановка чисел обычно меняет положение точки, потому что каждое число отвечает за своё направление. Например, точка (3; 2) находится на три единицы вправо и две вверх, а (2; 3) — на две вправо и три вверх. Они могут совпасть лишь в отдельных случаях, например при равных координатах, поэтому порядок записи нельзя менять произвольно.

Расположение относительно осей связано со знаками: справа от Oy абсцисса положительна, слева — отрицательна; выше Ox ордината положительна, ниже — отрицательна. Поэтому сочетание двух знаков показывает четверть. Если одна координата равна нулю, точка лежит прямо на оси, а в начале координат обе координаты равны нулю; сами оси не входят в четверти.

Знаки координат в четвертях и на осях

Чтобы определить четверть, найдите знаки обеих координат и сопоставьте их с таблицей. Если одна координата равна нулю, точка лежит на оси, а не в четверти.

Разбор задач

Отметьте на координатной плоскости точку A(3; 2).

Сначала читаем запись в установленном порядке: 3 — абсцисса, 2 — ордината. Обе координаты положительны, значит, точка будет справа и выше начала координат. На каждом шаге соблюдаем масштаб делений.

1. Отметьте начало координат O и найдите на оси Ox число 3, двигаясь вправо на три единицы.
2. Из этой позиции проведите мысленно линию, параллельную Oy, и поднимитесь на две единицы.
3. Поставьте точку в месте, до которого дошли, и подпишите её A.

Ответ: точка A находится на пересечении линии x = 3 и линии y = 2, в I четверти.

Определите координаты точки B, расположенной на 4 единицы левее начала координат и на 2 единицы выше него.

Фраза «левее» указывает направление, противоположное положительному направлению Ox, поэтому абсцисса отрицательна. «Выше» означает движение в положительном направлении Oy, значит, ордината положительна. Расстояния от начала координат дают модули этих чисел.

1. Запишите абсциссу: четыре единицы влево — это x = −4.
2. Запишите ординату: две единицы вверх — это y = 2.
3. Поставьте координаты в нужном порядке: сначала x, затем y.

Ответ: B(−4; 2), точка лежит во II четверти.

Отметьте точки C(−3; 2), D(−3; −2), E(3; −2), F(3; 2). Укажите четверть каждой точки и сравните их расположение.

У всех точек одинаковые по модулю координаты, поэтому они находятся на одинаковом расстоянии от обеих осей. Меняются только знаки: по ним определяем направления от начала координат и четверть. Сравнение знаков также помогает увидеть симметрию расположения.

1. Для C(−3; 2) знаки (−; +), значит, C находится во II четверти.
2. Для D(−3; −2) знаки (−; −), значит, D находится в III четверти.
3. Для E(3; −2) знаки (+; −), значит, E находится в IV четверти.
4. Для F(3; 2) знаки (+; +), значит, F находится в I четверти. Сравните пары: C и F, D и E зеркально расположены относительно Oy; C и D, F и E — относительно Ox.

Ответ: C — II, D — III, E — IV, F — I четверть. Все четыре точки симметрично расположены относительно осей попарно.

Типичные ошибки

Поменять местами абсциссу и ординату. Так бывает, если читать пару как два числа без учёта осей. Первое число всегда относится к Ox, второе — к Oy. Проверьте себя: для точки (x; y) сначала движение должно быть вдоль Ox.

Отложить отрицательное значение в положительном направлении. Обычно смотрят только на число и забывают о его знаке. Минус указывает движение от начала координат в сторону, противоположную положительному направлению оси. Проверка проста: для x < 0 точка должна быть слева от Oy, для y < 0 — ниже Ox.

Считать точку с нулевой координатой принадлежащей четверти. Четверть — это область между осями, а не сама ось. Если x = 0, точка лежит на Oy; если y = 0 — на Ox. Проверьте наличие нуля в паре: такая точка не находится ни в одной четверти.

Считать деления с разным шагом или пропускать их. Из-за невнимательности точку можно поставить не на том расстоянии от начала координат. Сначала проверьте выбранный масштаб и отсчитывайте каждую единицу по порядку. На обеих осях используйте заданный шаг, даже если расстояния между делениями на рисунке выглядят непривычно.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью понадобятся знания о числовой прямой, положительных и отрицательных числах и координате числа. На каждой оси координату отсчитывают так же, как на числовой прямой: от нуля, учитывая направление и расстояние. Поэтому умение читать знаки и деления помогает правильно находить точки.

Координатная плоскость пригодится при построении графиков зависимостей: точки на графике показывают, какие значения связаны друг с другом. Её используют и для представления данных, например чтобы наглядно сравнивать величины. Координатная запись превращает информацию о положении в пару чисел, которую легко прочитать и проверить.

Что запомнить

• Координатные оси Ox и Oy перпендикулярны и пересекаются в начале координат O.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Первая координата — абсцисса, вторая — ордината.
• Положительные направления осей задают направления отсчёта координат.
• Знаки координат определяют, в какой четверти находится точка.
• Точки на осях не принадлежат ни одной четверти.