§ 47. Графики

Определения и обозначения

График зависимости — множество точек координатной плоскости, координаты которых показывают соответствие между значениями двух величин. Например, точка может связывать время поездки и пройденное расстояние. График помогает увидеть изменение величин и находить значения, которых нет в таблице.

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, на которой задают положение точки парой чисел. Горизонтальную ось обычно называют осью x, вертикальную — осью y. Такая система нужна, чтобы точно размещать точки и сравнивать пары величин.

Координаты точки — числа, определяющие её положение: первая координата указывает положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Например, точка (2; 5) находится над отметкой 2 на горизонтальной оси, на высоте 5. Координаты позволяют записать пару связанных значений и найти соответствующую точку на графике.

График движения — график, показывающий, как пройденный путь зависит от времени. По горизонтальной оси обычно откладывают время, а по вертикальной — путь. Он нужен, чтобы сравнивать пройденные расстояния в разные моменты и выяснять, когда достигнута заданная отметка пути.

Как это устроено

Две связанные величины записывают парой чисел: например, (время; путь). Первое значение откладывают по горизонтальной оси, второе — по вертикальной, поэтому каждой паре соответствует одна точка. Такой порядок позволяет договориться, где на плоскости искать каждую величину, и не путать их. Если поменять числа местами, получится другая точка, даже если сами числа остались теми же.

Чтобы построить график по таблице, сначала выясняют, какие величины измерены и в каких единицах. Затем выбирают масштаб: он показывает, сколько единиц соответствует одному делению на каждой оси. После этого наносят точки по парам значений. Точки соединяют, если величина меняется непрерывно: например, температура между двумя измерениями или путь во время движения может принимать промежуточные значения. Если таблица описывает только отдельные случаи, соединённая линия может ошибочно показать значения, которых в данных нет.

График нужен не только для изображения данных — с него можно считывать значения. Если известно значение первой величины, его находят на горизонтальной оси и мысленно проводят оттуда линию до графика. У точки пересечения определяют высоту по вертикальной оси: это значение второй величины. Такой способ удобен, потому что позволяет находить примерное значение даже между отметками таблицы, если промежуточные значения допустимы.

График движения показывает путь в зависимости от времени, поэтому для каждого момента времени ему соответствует пройденное расстояние. Чтобы узнать путь через заданное время, находят время на горизонтальной оси и считывают вертикальную координату графика. Чтобы определить, когда достигнут заданный путь, начинают с отметки пути на вертикальной оси и находят соответствующее время. Так можно сравнить, сколько турист прошёл к разным моментам, или определить время достижения нужной отметки.

Масштаб выбирают с учётом диапазона данных: все точки должны поместиться, а деления — оставаться удобными для чтения. На разных осях шаг может быть разным, потому что время и путь измеряются в разных единицах и их значения могут сильно различаться. Например, одному делению по горизонтали может соответствовать 1 час, а одному делению по вертикали — 60 км. Названия величин и единицы на осях помогают правильно понять график.

Как это устроено

Автомобиль движется равномерно: за одинаковые промежутки времени он проходит одинаковый путь. Поэтому график его движения можно строить по нескольким парам значений, а точки между ними соединить: путь меняется непрерывно.

Как строить график и читать его

Таблица помогает выполнять действия по порядку и не забывать, что график нужно не только построить, но и подписать. Сначала подготовь оси и точки, а затем реши, допустимо ли соединять их. При чтении графика снова проверь, какая величина отложена на каждой оси и в каких единицах она измеряется.

Разбор задач

Задача 1. По таблице времени и температуры воздуха постройте график изменения температуры за день. Пусть в таблице указаны пары: 8 ч — 10 °C, 12 ч — 16 °C, 16 ч — 14 °C и 20 ч — 8 °C. Время здесь выступает первой величиной, потому что мы хотим проследить, как меняется температура с течением дня. Температура будет второй величиной, и её откладывают по вертикали.

1. Подготовим оси: по горизонтали отметим время от 8 до 20 ч, по вертикали — температуру от 0 до 20 °C. Выберем удобные деления, например 4 часа по горизонтали и 2 °C по вертикали.
2. Для каждой строки таблицы поставим точку: (8; 10), (12; 16), (16; 14), (20; 8). Проверим координаты: время должно соответствовать горизонтальной отметке, температура — вертикальной.
3. Так как температура меняется непрерывно, соседние точки можно соединить отрезками. Получившаяся линия показывает рост температуры к полудню и её снижение позже.

Ответ: график строится по точкам (8; 10), (12; 16), (16; 14), (20; 8), соединённым отрезками.

Задача 2. Автомобиль движется равномерно со скоростью 60 км/ч. Постройте график зависимости пройденного пути от времени за первые 3 часа и определите путь через 2,5 часа. Для равномерного движения путь равен скорости, умноженной на время: s = 60t. Значит, сначала найдём несколько пар «время — путь», а затем нанесём их на координатную плоскость.

1. Составим таблицу: при t = 0 путь s = 0 км; при t = 1 — 60 км; при t = 2 — 120 км; при t = 3 — 180 км.
2. По горизонтали отложим время от 0 до 3 ч, по вертикали — путь от 0 до 180 км. Отметим точки (0; 0), (1; 60), (2; 120), (3; 180) и соединим их: автомобиль движется непрерывно.
3. На графике найдём 2,5 ч, проведём мысленно линию до прямой и прочитаем путь по вертикальной оси. Между отметками 2 ч и 3 ч путь увеличивается от 120 до 180 км; при половине часа он увеличится на 30 км.

Ответ: через 2,5 часа автомобиль пройдёт 150 км.

Задача 3. По графику движения туриста определите, какой путь он прошёл за 2 часа, в какой момент достиг отметки 12 км и когда делал остановку. Представим, что на графике при 2 ч вертикальная координата равна 8 км, отметки 12 км турист достигает через 3 ч, а горизонтальный участок расположен от 4 до 5 ч. Здесь важно двигаться по осям в нужном направлении: время задают по горизонтали, путь — по вертикали.

1. Чтобы найти путь за 2 часа, отмечаем 2 на горизонтальной оси и идём до графика. Считываем высоту точки пересечения: 8 км.
2. Чтобы узнать время достижения 12 км, отмечаем 12 на вертикальной оси и идём до графика. От точки пересечения опускаемся к горизонтальной оси и получаем 3 ч.
3. Во время остановки путь не меняется, хотя время продолжает идти. Поэтому график движения становится горизонтальным; по указанному участку видно, что турист стоял с 4-го до 5-го часа.

Ответ: за 2 часа турист прошёл 8 км, отметки 12 км достиг через 3 часа, остановка длилась с 4-го до 5-го часа.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять величины на осях местами. Её допускают, если не проверяют, какое значение стоит первым в паре; тогда, например, время оказывается по вертикали. Перед нанесением каждой точки проверь: первое число пары ищется по горизонтали, второе — по вертикали.

Вторая ошибка — использовать неверный масштаб или считать деления не от нуля. Из-за этого точка смещается и уже не соответствует данным таблицы. Подпиши значения у делений и проверь на простой паре, например на точке с нулевой координатой, правильно ли ты отсчитываешь шаг.

Третья ошибка — оставить оси без названий и единиц измерения. Тогда нельзя понять, изображены ли часы, километры или другая величина, даже если точки нанесены верно. Проверить себя легко: у каждой оси должно быть указано название величины и её единица, например «Время, ч».

Четвёртая ошибка — соединить точки, хотя промежуточные значения не имеют смысла. Так бывает, если данные показывают отдельные измерения или отдельные объекты, а линия создаёт впечатление непрерывного изменения. Перед соединением спроси себя, можно ли рассматривать значения между соседними точками; если нельзя, оставь точки отдельными.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужно уметь отмечать точки по координатам на плоскости, а также выполнять действия с натуральными числами и дробями. Эти навыки помогают правильно находить деления и вычислять значения в задачах. Графики особенно полезны в задачах на движение, где путь связан со временем. Позже они помогут изучать функции и их свойства, а в естественных науках и повседневной жизни — представлять и понимать данные.

Что запомнить

• График зависимости строят по парам соответствующих значений.
• Первое число пары задаёт горизонтальную координату, второе — вертикальную.
• Масштаб выбирают отдельно для каждой оси.
• На осях указывают названия величин и единицы измерения.
• По графику можно находить неизвестное значение одной величины по известному значению другой.
• Точки соединяют только тогда, когда промежуточные значения зависимости имеют смысл.