47. Графики

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, на которых выбраны начало отсчёта и единичный отрезок. Единичный отрезок показывает, какую длину на чертеже принимают за одну единицу. Такая плоскость нужна, чтобы точно отмечать точки и изображать связи между числами.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат; их пересечение является началом координат. По оси абсцисс откладывают первое число, а по оси ординат — второе. Оси помогают определить направление движения от начала координат и прочитать положение точки.

Координаты точки — пара чисел, которая указывает положение точки на плоскости: сначала абсцисса, затем ордината. Обычно её записывают так: (x; y), где x — абсцисса, y — ордината. Порядок важен: числа в паре отвечают за разные направления, поэтому перестановка меняет место точки.

График зависимости — изображение, показывающее, как значения одной величины связаны со значениями другой. На нём пары значений представлены точками с соответствующими координатами. График нужен, чтобы увидеть связь величин и находить неизвестное значение по известному.

Как это устроено

Чтобы построить координатную плоскость, проведи две перпендикулярные прямые и обозначь их направления: горизонтальная будет осью абсцисс, вертикальная — осью ординат. Их пересечение отметь как начало координат, то есть точку, от которой ведётся отсчёт. На каждой оси выбери одинаковый по смыслу единичный отрезок и отметь деления. Это нужно, чтобы числа откладывались в правильном масштабе и положение точки можно было прочитать.

Чтобы построить точку по координатам, сначала отложи абсциссу по горизонтали от начала координат, затем ординату по вертикали. Например, для (2; 3) переместись на 2 единицы вправо, а затем на 3 вверх. Если число отрицательное, двигайся в противоположную сторону: влево для отрицательной абсциссы, вниз для отрицательной ординаты. Порядок нельзя менять, потому что первое число отвечает за горизонтальное, а второе — за вертикальное положение.

Если значения зависимости даны таблицей, возьми числа из одной колонки как пары: каждому x соответствует своё y. Например, для x = 1 и y = 3 получаем точку (1; 3). Отметь на плоскости точку для каждой пары, сохраняя один и тот же масштаб. Так таблица превращается в графическое изображение связи между величинами.

График позволяет находить одно значение по другому, потому что каждая его точка содержит сразу оба значения пары. Если известно время, найди его на горизонтальной оси, проследи до точки графика и прочитай по вертикальной оси соответствующий путь. Если известен путь, начни с вертикальной оси и отыщи точку с такой ординатой, чтобы затем определить время по горизонтальной оси. Проверяй, какую величину показывает каждая ось.

Нанесённые точки соединяют не автоматически: сначала нужно понять смысл задачи. Если величина может принимать промежуточные значения, например время или пройденный путь в ходе движения, между соседними точками могут быть другие значения, и соединение может показать это. Если рассматриваются только отдельные случаи, например количество предметов, дробных промежуточных значений может не быть. Тогда точки лучше оставить раздельными, чтобы линия не обещала значений, которых в задаче нет.

Если график зависимости непрерывен, соседние нанесённые точки можно соединить.

Как читать график зависимости

Таблица подсказывает, с какой оси начинать поиск. Для чтения графика сначала определи, какая величина задана, и найди её на соответствующей оси. Затем проследи до точки графика и считай значение второй величины по другой оси. Так можно пройти по таблице в обоих направлениях.

Разбор задач

Задача 1. На координатной плоскости отметьте точки A(2; 3), B(−1; 2) и C(3; −2).

1. Для каждой точки сначала читаем первое число: это абсцисса, которую откладывают по горизонтальной оси.
2. Для A абсцисса равна 2, поэтому от начала координат идём на 2 вправо. Ордината равна 3: от найденного положения идём на 3 вверх и ставим точку A.
3. Для B абсцисса −1, значит, сначала идём на 1 влево. Затем ордината 2: поднимаемся на 2 и ставим B.
4. Для C откладываем 3 вправо, а затем −2 по вертикали, то есть опускаемся на 2. В этом случае точка оказывается ниже горизонтальной оси.

Ответ: A — на 2 вправо и 3 вверх; B — на 1 влево и 2 вверх; C — на 3 вправо и 2 вниз от начала координат.

Задача 2. По таблице x: 0, 1, 2, 3 и y: 1, 3, 5, 7 постройте график зависимости y от x.

1. Составляем пары значений в порядке колонок: (0; 1), (1; 3), (2; 5), (3; 7). Нельзя, например, объединить x = 1 с y = 5: числа из одной позиции образуют одну пару.
2. Для каждой пары откладываем первое число по оси x, а второе — по оси y. Получаем точки (0; 1), (1; 3), (2; 5) и (3; 7).
3. Ставим точки на плоскости и проверяем, что каждая попала на нужные деления обеих осей. Если задача сообщает только данные таблицы, точки можно оставить отдельными.
4. Если по смыслу величина может принимать значения между табличными, например x означает время, соседние точки можно соединить. Без такого условия соединять их автоматически не нужно.

Ответ: график состоит из точек (0; 1), (1; 3), (2; 5), (3; 7); соединение зависит от смысла зависимости.

Задача 3. На графике зависимости пройденного пути от времени найдите путь через 3 часа и время, за которое пройдено 12 км.

1. Сначала выясняем, какая величина на какой оси: обычно время отмечено по горизонтали, а путь — по вертикали. Это нужно проверить по подписям графика.
2. Для первого вопроса находим на горизонтальной оси 3 часа и прослеживаем до точки графика. От неё считываем ординату — путь, пройденный за это время.
3. Для второго вопроса начинаем с вертикальной оси: находим 12 км и идём до графика. Затем от точки определяем абсциссу, то есть время.
4. Если найденная точка оказывается между делениями, оцениваем значение по масштабу осей. Числовые ответы можно назвать только по самому графику; без него порядок действий известен, но конкретные значения определить нельзя.

Ответ: путь через 3 часа — ордината точки графика с абсциссой 3; время для пути 12 км — абсцисса точки с ординатой 12.

Типичные ошибки

Координаты иногда записывают в обратном порядке и вместо точки (2; 3) отмечают (3; 2). Ошибка появляется, если не помнить, что первое число относится к горизонтали. Проверь себя: сначала найди положение по оси абсцисс, а уже потом по оси ординат; при перестановке чисел точка обычно переместится.

Отрицательную координату могут отложить в положительном направлении, потому что при построении забывают знак числа. Тогда точка окажется по другую сторону от оси или начала координат. Перед отметкой проговори направление: плюс — вправо или вверх, минус — влево или вниз, и сравни положение с указанными знаками.

При заданной абсциссе иногда считывают другую абсциссу, а не ординату. Это происходит, когда забывают, что известное значение нужно использовать для поиска точки, а ответ берут по другой оси. Проверь себя: от заданного значения дойди до графика, затем поворачивай к той оси, которая показывает искомую величину.

Точки нередко автоматически соединяют отрезками, хотя таблица может описывать только отдельные значения. Линия тогда намекает на существование промежуточных значений, которых в задаче может не быть. Перед соединением спроси себя, возможны ли такие значения по смыслу; если данных недостаточно, оставь точки раздельными.

Связь с другими темами

Для работы с графиками нужны навыки, изученные раньше: отсчёт на координатной прямой, действия с положительными и отрицательными числами и понимание упорядоченных пар. Эти знания помогают правильно выбрать направление и построить точку. В дальнейшем графики будут полезны при изучении зависимостей величин и задач о движении, а также при чтении диаграмм и данных из таблиц. Графическое представление позволяет сравнивать значения и замечать изменения.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке: абсцисса, ордината.
• Абсциссу откладывают по горизонтальной оси, ординату — по вертикальной.
• Каждой паре значений зависимости соответствует точка графика.
• По графику можно находить значение одной величины по заданному значению другой.
• Точки соединяют только тогда, когда это соответствует смыслу зависимости.