§ 45. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельными называют две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Представь, что обе прямые продолжаются без конца: у параллельных прямых всё равно не появится общая точка. Это определение помогает отличить параллельные прямые от линий, которые просто не встретились на небольшом рисунке.

Параллельность обозначают знаком ∥. Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны, то есть лежат в одной плоскости и не пересекаются. Такое обозначение удобно, чтобы кратко записать условие задачи или вывод.

Параллельными отрезками называют отрезки, лежащие на параллельных прямых. Сами отрезки могут находиться на разном расстоянии друг от друга и иметь разную длину. Проверяют не только их концы, а прямые, содержащие эти отрезки.

Параллельными лучами называют лучи, лежащие на параллельных прямых. Луч начинается в одной точке и продолжается в одну сторону, но для проверки параллельности учитывают всю прямую, на которой он расположен. Поэтому направление лучей не меняет того, параллельны ли содержащие их прямые.

Как это устроено

На коротком рисунке прямые могут казаться непересекающимися, хотя при продолжении они встретятся. Причина в том, что рисунок показывает лишь часть каждой прямой, а прямая не имеет конца и продолжается в обе стороны. Поэтому по одному только ограниченному изображению нельзя уверенно установить параллельность: нужно использовать определение или условия задачи.

У отрезка есть начало и конец, а у луча — начало и только одно направление продолжения. Чтобы проверить их параллельность, мысленно или с помощью линейки продлевают содержащие фигуры прямые. Если эти прямые параллельны, то параллельны и отрезки или лучи; если прямые пересекутся, одного непересечения самих частей недостаточно.

На чертеже параллельность можно распознать по условным отметкам или по данным задачи. Иногда линии изображены так, что выглядят параллельными, но это лишь способ показать фигуру, а не доказательство. Если известно или доказано, что прямые a и b параллельны, записывают a ∥ b; знак связывает именно эти прямые.

Чтобы провести параллельную прямую линейкой и угольником, приложи один край угольника к данной прямой, а к другому краю приставь линейку. Прижми линейку и передвигай угольник вдоль неё, не меняя его положения относительно линейки. Так рабочий край угольника сохраняет прежнее направление, а проведённая по нему линия будет параллельна исходной.

Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную ей. Построение показывает, как провести такую прямую, а свойство единственности объясняет, почему нельзя провести через ту же точку вторую отличающуюся параллельную прямую. Это правило позволяет точно задавать положение прямой, а не выбирать её на глаз.

Как различать параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные прямые

Сначала выясни, имеют ли прямые общую точку, учитывая их продолжения. Если они пересекаются, проверь угол: прямой угол означает, что прямые перпендикулярны. Таблица помогает не спутать непересекающиеся прямые с пересекающимися под прямым углом.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены прямые a и b. Определите, параллельны ли они, и запишите ответ символами. Сам рисунок может показывать только ограниченные части прямых, поэтому сначала нужно разобраться с их продолжениями. По условию не указаны готовые отметки параллельности, значит, проверяем взаимное положение линий.

1. Мысленно продолжи a и b в обе стороны до бесконечности.
2. Если продолжения встретятся, у прямых будет общая точка, и они не параллельны.
3. Если прямые лежат в одной плоскости и не встретятся, примени определение параллельности.
4. В последнем случае запиши a ∥ b; если прямые пересекаются, знак ∥ использовать нельзя.

Ответ: без самого рисунка нельзя выбрать один из двух вариантов. Если прямые не пересекаются при продолжении, ответ a ∥ b; если пересекаются — они не параллельны. Так задача решается по определению, а не по тому, насколько ровными кажутся линии.

Задача 2. Даны отрезки AB и CD. Известно, что прямые AB и CD параллельны. Как расположены отрезки AB и CD? Здесь условие сообщает о прямых, на которых лежат отрезки, поэтому не нужно оценивать расстояние между их концами. Достаточно связать определение параллельных отрезков с данными о прямых.

1. Найди прямую, содержащую отрезок AB, и прямую, содержащую отрезок CD.
2. По условию эти прямые параллельны и не пересекаются.
3. Значит, отрезки AB и CD лежат на параллельных прямых и тоже называются параллельными.

Ответ: отрезки AB и CD параллельны. Их длины и положение концов на прямых могут быть разными, но это не отменяет параллельности.

Задача 3. Проведите через точку M, не лежащую на прямой a, прямую, параллельную a. Объясните, почему построение задаёт единственную прямую. Понадобятся линейка и угольник, чтобы сохранить направление исходной прямой. После построения отдельно укажем, какое свойство подтверждает единственность.

1. Приложи один край угольника к прямой a, а линейку плотно прижми к другому краю.
2. Удерживая линейку, передвинь угольник вдоль неё так, чтобы рабочий край прошёл через M.
3. Проведи через M прямую по рабочему краю угольника и обозначь её, например, b.
4. Направление края не изменилось, поэтому b параллельна a. Через точку M вне a по свойству единственности проходит только одна такая прямая.

Ответ: построенная прямая b проходит через M и параллельна a; другой параллельной a прямой через M провести нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямые параллельными, потому что на коротком рисунке они не пересекаются. Так думают, когда принимают видимые кусочки за целые прямые и забывают об их продолжении. Проверь, лежат ли линии в одной плоскости и встретятся ли они, если продлить их в обе стороны.

Ошибка — называть параллельными любые два отрезка, которые не соприкасаются. Отрезки могут быть короткими частями пересекающихся прямых, и тогда их продолжения встретятся. Для проверки продли содержащие отрезки прямые; только если эти прямые параллельны, отрезки параллельны.

Ошибка — путать параллельные прямые с перпендикулярными. Параллельные не имеют общей точки, а перпендикулярные пересекаются и образуют прямой угол. Проверь наличие точки пересечения и угол в ней: прямой угол означает перпендикулярность, а не параллельность.

Ошибка — записывать a ∥ b лишь потому, что так кажется по рисунку. Знак выражает установленное отношение: оно должно быть дано в условии или подтверждено рассуждением. Перед записью спроси себя, есть ли основание считать прямые непересекающимися, а не только похожи ли они на параллельные.

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужно знать, что такое прямая, луч и отрезок. Также важно помнить: прямая продолжается в обе стороны, даже если на рисунке показана лишь её часть. Линейка помогает проводить линии, угольник — сохранять нужное направление, а знание прямого угла позволяет отличить перпендикулярные прямые от параллельных.

Параллельность пригодится при изучении координатной плоскости и геометрических фигур. Она также помогает разбираться в свойствах углов, которые возникают, когда одну прямую пересекает другая — секущая. Поэтому умение отличать параллельные линии важно не только для чертежей, но и для дальнейших геометрических рассуждений.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых обозначают знаком ∥.
• Параллельность отрезков определяют по прямым, на которых они лежат.
• Внешний вид рисунка сам по себе не доказывает параллельность.
• Через точку вне прямой можно провести ровно одну параллельную ей прямую.