§ 44. Осевая и центральные симметрии

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование, при котором точки фигуры переходят в точки, симметричные относительно прямой. Эту прямую называют осью симметрии. Она нужна, чтобы описывать отражение фигуры: соответствующие точки располагаются по разные стороны оси, словно в зеркале.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура отображается сама в себя. Это значит, что после отражения каждая её часть занимает место другой части, и контур полностью совпадает с исходным. Так можно определить, обладает ли фигура симметрией и где проходит её ось.

Центральная симметрия — преобразование, при котором точки фигуры переходят в точки, симметричные относительно заданной точки. Эту точку называют центром симметрии. Такая симметрия помогает описать поворот фигуры вокруг точки, при котором её части меняются местами.

Центр симметрии фигуры — точка, относительно которой фигура отображается сама в себя. При таком преобразовании каждой точке фигуры соответствует другая точка, а центр находится ровно посередине между ними. Это определение позволяет проверить, совместится ли фигура с собой при повороте на 180°.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, сначала проводят перпендикуляр к этой прямой через исходную точку. На этом перпендикуляре отмечают точку с другой стороны от прямой. Расстояние от неё до прямой должно быть таким же, как расстояние от исходной точки. Поэтому ось пересекает отрезок между точками под прямым углом и делит его пополам.

Для построения точки, симметричной относительно центра, проводят прямую через исходную точку и заданный центр. Затем продолжают её за центр и откладывают от центра такое же расстояние, какое было до исходной точки. Центр оказывается серединой отрезка между двумя точками. Это условие показывает, что при повороте на 180° точка с одной стороны переходит в точку с другой стороны на том же расстоянии.

При осевой симметрии каждая точка оси остаётся на месте, потому что расстояние от такой точки до оси равно нулю. Если части фигуры расположены по обе стороны оси как зеркальные отражения, каждой точке одной части соответствует точка другой части. Поэтому отражение меняет эти части местами, но весь контур фигуры остаётся тем же.

При центральной симметрии центр остаётся на месте: ему соответствует он сам. Любая другая точка и её образ лежат на одной прямой с центром, потому что при повороте на 180° точка оказывается на противоположной стороне от центра. Расстояние до центра не меняется, поэтому центр становится серединой отрезка между соответствующими точками. Так центральная симметрия связана с поворотом на пол-оборота.

Осевая и центральная симметрии сохраняют расстояния между соответствующими точками. Значит, соответствующие отрезки имеют равные длины, а углы и форма фигуры не меняются. Фигура может быть расположена иначе, но её образ будет такой же формы и размера. Именно поэтому при проверке симметрии важно сравнить весь образ с исходной фигурой, а не только отдельные точки.

Сравнение осевой и центральной симметрий

Сначала смотрите, чем задано преобразование: прямой или точкой. Затем проверяйте положение каждой пары соответствующих точек по нужному правилу. Последняя строка таблицы общая для двух видов симметрии: образ не меняет размеров и формы фигуры.

Разбор задач

1. Постройте точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой

Пусть дана точка A и прямая l. Нужно найти точку A′ так, чтобы прямая l была осью симметрии для A и A′. Значит, l должна делить отрезок AA′ пополам под прямым углом. Поэтому сначала строим перпендикуляр из A к l, а затем откладываем равное расстояние по другую сторону.

1. Проведите через A перпендикуляр к прямой l и обозначьте точку пересечения буквой H.
2. Измерьте расстояние AH или перенесите его циркулем на тот же перпендикуляр за прямую l.
3. Отметьте полученную точку A′. Тогда AH = HA′, а отрезок AA′ перпендикулярен l.
4. Проверьте построение: прямая l должна проходить через середину AA′ и быть перпендикулярной этому отрезку.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l по другую сторону прямой на расстоянии, равном AH.

2. Постройте треугольник, симметричный данному относительно заданной точки

Пусть дан треугольник ABC и центр O. Чтобы получить образ треугольника, достаточно построить образы его вершин: A′, B′ и C′. Для каждой пары точек центр O должен быть серединой соединяющего их отрезка. После этого соединяем построенные вершины в том же порядке, что и исходные.

1. Проведите прямые AO, BO и CO.
2. Продолжите каждую прямую за точку O. На продолжении отметьте A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Проверьте, что O находится между A и A′, между B и B′, а также между C и C′.
4. Соедините A′, B′ и C′ отрезками. Полученный треугольник и есть образ ABC при центральной симметрии.

Ответ: треугольник A′B′C′, построенный так, что O — середина AA′, BB′ и CC′.

3. Имеет ли прямоугольник ось симметрии и центр симметрии?

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Если провести прямую через середины двух противоположных сторон параллельно другой паре сторон, отражение поменяет местами стороны прямоугольника и оставит его контур на месте. То же происходит с прямой, проходящей через середины другой пары противоположных сторон. Для центральной симметрии проверим поворот вокруг точки пересечения диагоналей.

1. Проведите через середины противоположных сторон прямоугольника две прямые, параллельные его сторонам.
2. Проверьте отражение относительно каждой прямой: половины прямоугольника по обе стороны совпадают, поэтому прямые являются осями симметрии.
3. Обозначьте точку пересечения диагоналей через O. Диагонали прямоугольника делятся в этой точке пополам.
4. При повороте на 180° вокруг O вершины A и C, а также B и D меняются местами. Поэтому прямоугольник совмещается сам с собой.

Ответ: у прямоугольника две оси симметрии — прямые через середины противоположных сторон, параллельные сторонам; центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Типичные ошибки

Иногда от исходной точки к её образу проводят отрезок, который не перпендикулярен оси. Тогда ось не делит этот отрезок на две равные части под прямым углом, и построенная точка не является симметричной. Ошибка возникает, если помнить только о равном расстоянии до оси. Проверьте себя: соедините точки и убедитесь, что ось проходит через середину отрезка перпендикулярно ему.

При центральной симметрии можно отложить одинаковые расстояния от центра, но поставить обе точки с одной стороны от него. Это не подходит: центр должен находиться между исходной точкой и её образом. Проверьте, что обе точки лежат на одной прямой с центром и расстояния до него равны. Тогда центр действительно будет серединой отрезка.

Ось и центр иногда путают, потому что оба слова связаны с симметрией. Но осевая симметрия задаётся прямой, а центральная — точкой. Чтобы не ошибиться, сначала определите, относительно чего выполняется преобразование: отражение относительно прямой или поворот вокруг точки. После этого применяйте нужное правило построения.

Нельзя считать, что любая фигура обязательно имеет ось или центр симметрии. Даже если отдельные точки или части кажутся подходящими, вся фигура может не совпасть со своим образом. Ошибку помогает обнаружить проверка полного контура: мысленно отразите фигуру или поверните её на 180°. Симметрия есть, только если целиком совмещается вся фигура.

Связь с другими темами

Для построений симметричных точек нужно уметь находить середину отрезка, проводить перпендикулярные прямые и пользоваться циркулем и линейкой. Эти действия помогают точно отложить равные расстояния и проверить, что прямая или точка занимает нужное положение. Если построение выполнено неточно, правило симметрии нарушается. Поэтому полезно повторить способы построения перпендикуляра и середины отрезка.

Симметрии помогают изучать свойства геометрических фигур и выполнять построения на чертежах. Они также относятся к преобразованиям фигур: фигура меняет положение, но сохраняет расстояния и форму. Эти знания пригодятся, когда нужно находить особые точки и прямые фигуры или проверять, совпадают ли две фигуры после преобразования.

Что запомнить

• При осевой симметрии ось является серединным перпендикуляром к отрезку между соответствующими точками.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между соответствующими точками.
• Точки оси и центр симметрии остаются на месте.
• Осевая симметрия задаётся прямой, центральная — точкой.
• Симметрия сохраняет расстояния и размеры фигуры.
• Фигура имеет ось или центр симметрии, если при соответствующем преобразовании совмещается сама с собой.