"Математика", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Перпендикулярные прямые — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом. Такое расположение встречается в геометрических фигурах, на координатной плоскости и при измерении расстояния от точки до прямой. Перпендикулярность обозначают знаком ⟂: запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Чтобы проверить это свойство и провести нужную прямую, используют определение прямого угла и угольник.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямые углы. Прямой угол равен 90°, поэтому недостаточно того, что две прямые просто встретились: угол между ними должен быть именно прямым. Это определение помогает отличить перпендикулярные прямые от остальных пересекающихся прямых.
Перпендикуляр — прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через заданную точку. Иными словами, это нужная нам прямая, проведённая через конкретное место под углом 90° к исходной. Такое понятие используют, когда требуется построить прямую с заданным направлением.
Знак ⟂ обозначает перпендикулярность: запись a ⟂ b читают «прямая a перпендикулярна прямой b». Вместо длинного словесного объяснения достаточно указать названия прямых и поставить между ними этот знак. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком, чтобы показать, какой именно угол равен 90°.
Перпендикулярные отрезки — отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых. Сам отрезок ограничен двумя концами, а прямая продолжается в обе стороны, поэтому при проверке рассматривают прямые, на которых расположены отрезки. Это позволяет правильно определить взаимное положение отрезков, даже если они не доходят до точки пересечения прямых.
Чтобы установить, перпендикулярны ли две пересекающиеся прямые, достаточно проверить, является ли один из образованных углов прямым. По определению перпендикулярности именно прямой угол служит главным условием. Если угол отмечен квадратиком, отметка сообщает, что он равен 90°; если такой отметки нет, одного впечатления от рисунка недостаточно. Угол можно проверить угольником или измерить транспортиром.
При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если один из них прямой, соседний угол вместе с ним составляет развёрнутый угол, то есть 180°, поэтому соседний тоже равен 90°. Угол напротив первого называется вертикальным и равен ему, а четвёртый вертикален соседнему. Значит, все четыре угла прямые, а не только тот, который проверили сначала.
Перпендикулярность удобно показывать и на чертеже, и в записи. В вершине прямого угла рисуют маленький квадратик: он не даёт спутать отметку угла с обозначением обычного пересечения. В тексте или решении записывают a ⟂ b, где a и b — названия прямых. Такая запись сообщает о взаимном расположении прямых, даже если сам рисунок не приведён.
Для построения перпендикуляра используют прямой угол угольника. Угольник прикладывают к заданной прямой так, чтобы одна его сторона шла вдоль неё, а другая образовывала с ней угол 90°. Если стороны совпадают правильно, по второй стороне можно провести искомую прямую. Угольник удобен тем, что его прямой угол уже задан формой инструмента, поэтому не приходится откладывать угол на глаз.
Если точка лежит на прямой, вершину прямого угла угольника совмещают с этой точкой, а одну сторону — с прямой; вдоль другой стороны проводят перпендикуляр. Если точка находится вне прямой, угольник сдвигают и поворачивают так, чтобы одна его сторона совпала с заданной прямой, а точка оказалась на перпендикулярной стороне. Затем через точку проводят линию по этой стороне. В обоих случаях результат проверяют: прямые должны пересекаться под прямым углом.
Таблица помогает связать условие задачи с нужным действием или записью. Сначала найди строку, которая соответствует ситуации, затем проверь, что должно выполняться. Если нужно построение, используй угольник и проверь положение его сторон.
| Ситуация | Что должно выполняться | Как записать или построить |
|---|---|---|
| Две пересекающиеся прямые | Они образуют прямой угол величиной 90° | Проверить угол; отметить его квадратиком |
| Признак перпендикулярности | Хотя бы один угол при пересечении равен 90° | По определению прямые перпендикулярны |
| Обозначение перпендикулярности | У прямых есть названия | a ⟂ b |
| Построение с помощью угольника | Сторона угольника совпадает с прямой, а нужная точка расположена правильно | Провести прямую вдоль стороны, образующей угол 90° |
Задача 1. На чертеже две прямые пересекаются, и один из образовавшихся углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые.
Задача 2. Проведите через точку, лежащую на прямой a, прямую, перпендикулярную a.
Задача 3. Проведите через точку вне прямой a перпендикуляр к прямой a и обозначьте полученные прямые.
Считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Пересечение само по себе не означает перпендикулярность: угол может быть острым или тупым. Такую ошибку допускают, если запоминают только слово «пересекаются». Проверь себя: есть ли угол, равный 90°?
Определять прямой угол только по виду чертежа. Рисунок могут выполнить не точно, поэтому визуально похожий на прямой угол может иметь другую величину. Ошибка возникает, когда чертёж принимают за измерительный инструмент. Ищи отметку прямого угла или проверь угол угольником либо транспортиром.
Путать перпендикулярные прямые и отрезки. Отрезки могут не пересекаться, хотя прямые, на которых они лежат, перпендикулярны. Путаница появляется из-за того, что отрезки видны на рисунке, а продолжающие их прямые — нет. Проверь, какие прямые содержат отрезки, и сравни угол между ними.
Неправильно прикладывать угольник. Если к заданной прямой приложить не ту сторону, проведённая линия не обязательно образует с ней угол 90°. Обычно это происходит, когда не проверяют положение вершины прямого угла и сторон инструмента. Убедись, что одна сторона совпадает с прямой, а точка и другая сторона расположены как нужно для построения.
Для работы с перпендикулярными прямыми нужно знать виды углов, прежде всего уметь узнавать прямой угол, и пользоваться угольником. Эти навыки помогают проверять условие и выполнять построение, а не полагаться на внешний вид рисунка. Перпендикулярность встречается при построении геометрических фигур и работе с координатной плоскостью. Она также понадобится при изучении расстояния от точки до прямой.
Как понять, что две прямые перпендикулярны?
Прямые должны пересекаться и образовывать прямой угол, то есть угол величиной 90°. Если на чертеже есть отметка прямого угла, этого достаточно. Иначе угол нужно проверить измерением или построением.
Как обозначают перпендикулярные прямые?
Для обозначения используют знак ⟂. Например, запись a ⟂ b читают: «прямая a перпендикулярна прямой b».
Почему при пересечении перпендикулярных прямых получаются четыре прямых угла?
Один из углов при пересечении равен 90°. Соседний с ним угол тоже прямой, потому что вместе они составляют развёрнутый угол в 180°. Вертикальный угол равен первому, а четвёртый — второму, поэтому все четыре угла прямые.
Как провести перпендикуляр к прямой через заданную точку?
Положите угольник так, чтобы одна из его сторон совпала с заданной прямой. Если точка лежит на прямой, совместите с ней вершину прямого угла угольника; если точка вне прямой — расположите угольник так, чтобы точка оказалась на стороне, перпендикулярной прямой. Проведите через точку прямую вдоль этой стороны.
Можно ли считать прямые перпендикулярными только по виду рисунка?
Нет, внешний вид рисунка может быть неточным и не передавать настоящий угол. Вывод делайте по отметке прямого угла, результату измерения или построению с помощью угольника.
§ 43. Перпендикулярные прямые
