"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, то есть под углом 90°. Это свойство помогает точно строить фигуры, находить расстояние от точки до прямой и работать с координатами. Прямой угол на чертеже отмечают маленьким квадратиком, а перпендикулярность прямых обозначают знаком ⟂. Чтобы провести перпендикуляр, используют угольник, а точку его пересечения с прямой называют основанием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямой угол — это угол, равный 90°. На чертеже его часто отмечают маленьким квадратиком в углу, а не дугой. Если отметки нет, проверить угол можно угольником: его прямой угол должен совпасть с изображённым. Это помогает не угадывать величину угла по виду рисунка.
Перпендикулярные прямые — это две пересекающиеся прямые, которые образуют прямые углы. Записывают это так: a ⟂ b, то есть прямая a перпендикулярна прямой b. Такое обозначение коротко сообщает о точном свойстве прямых, даже если чертёж выглядит не совсем ровно.
Перпендикуляром к прямой называют отрезок, проведённый от точки к этой прямой под прямым углом. Один его конец находится в заданной точке, а другой — на прямой. Это понятие нужно, чтобы точно указать направление от точки к прямой, а не просто нарисовать отрезок, который приблизительно к ней наклонён.
Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает заданную прямую. Например, если отрезок AB перпендикулярен прямой l и точка A лежит на l, то A — основание перпендикуляра. Название помогает отличить эту точку от той, из которой перпендикуляр провели.
Достаточно проверить один угол при пересечении двух прямых, потому что остальные связаны с ним. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому если один равен 90°, соседний тоже равен 90°. Вертикальный угол равен углу напротив него, значит, он также прямой. Так из одного измерения следует, что все четыре угла прямые.
Перпендикулярность обозначают знаком ⟂, а прямой угол на чертеже выделяют маленьким квадратиком. Эти отметки сообщают точное условие задачи, а не впечатление от рисунка. Даже если линии на бумаге получились наклонными или немного неровными, запись a ⟂ b означает, что угол между ними равен 90°. Поэтому геометрическое свойство читают по обозначениям и условию, а не только «на глаз».
Чтобы провести через точку на прямой перпендикуляр, приложи угольник так, чтобы одна сторона его прямого угла совпала с прямой, а вершина угла оказалась в заданной точке. Затем проведи линию вдоль другой стороны угольника. Эта сторона образует с первой угол 90°, поэтому проведённая линия будет перпендикулярна прямой. Угольник нужен именно для сохранения точного угла, а не просто для проведения ровной линии.
Если точка находится вне прямой, расположи угольник так, чтобы один катет лежал вдоль прямой, а второй проходил через эту точку. Проведи линию вдоль второго катета от точки до прямой. Конец полученного отрезка на прямой и будет основанием перпендикуляра. Если нужно показать перпендикуляр только до прямой, продолжать его за основание не требуется.
Проверить построение можно тем же угольником: его прямой угол должен точно совместиться с углом между проведённым отрезком и прямой. Если угольник сдвинуть или повернуть так, что стороны угла не совпадают с линиями, построение неверно. Почти вертикальная линия сама по себе ничего не доказывает: на чертеже она может казаться перпендикулярной из-за неточности. Значит, нужна проверка инструментом или точное условие.
В таблице собраны признаки и способы построения для четырёх ситуаций. Сначала найди строку, которая подходит к задаче, затем проверь, что именно нужно обозначить на чертеже. Квадратик показывает прямой угол, а подпись точки помогает указать основание перпендикуляра.
| Что рассматриваем | Как определить или построить | Что отметить на чертеже |
|---|---|---|
| Перпендикулярные прямые | Проверить, что прямые пересекаются под углом 90° | Знак ⟂ и квадратик прямого угла |
| Прямой угол | Сверить с угольником или использовать данное значение 90° | Квадратик внутри угла |
| Перпендикуляр из точки на прямой | Совместить один катет угольника с прямой и провести линию вдоль другого из точки | Прямой угол у точки и обозначения прямых |
| Перпендикуляр из точки вне прямой | Один катет расположить на прямой, другой провести через точку | Точку вне прямой, основание и прямой угол |
Задача 1. Прямые a и b пересекаются. Один из образовавшихся углов равен 90°. Определите, перпендикулярны ли прямые. Рассуждаем по определению: прямые должны пересекаться и образовывать прямые углы. Условие о пересечении уже выполнено, осталось учесть, что происходит с остальными углами.
Ответ: да, a ⟂ b. Одного прямого угла достаточно, потому что остальные углы при пересечении связаны с ним свойствами смежных и вертикальных углов. Поэтому не нужно измерять каждый из четырёх углов отдельно.
Задача 2. Через точку A, лежащую на прямой l, проведите прямую, перпендикулярную l, и обозначьте прямой угол. Здесь важно поставить угольник именно вершиной прямого угла в точку A. Если вершина окажется в другом месте, проведённая линия не будет перпендикуляром через A.
Ответ: через A проведена прямая n, причём n ⟂ l. Квадратик показывает, что угол при пересечении прямых равен 90°. Обозначение прямых помогает прочитать чертёж без повторной проверки измерением.
Задача 3. Точка B не лежит на прямой m. Постройте перпендикуляр из B к m, обозначьте основание и объясните проверку. В отличие от предыдущей задачи, вершина прямого угла должна расположиться на прямой там, где с ней встретится перпендикуляр. Сначала проведём линию через B, а её пересечение с m обозначим C.
Ответ: BC — перпендикуляр к m, C — его основание, BC ⟂ m. Проверка состоит в том, что прямой угол угольника точно совпадает с углом у точки C. Недостаточно, чтобы отрезок BC просто выглядел почти вертикальным.
Ошибка — считать прямые перпендикулярными только потому, что на рисунке они похожи на пересекающиеся под прямым углом. Так бывает, потому что чертёж обычно рисуют от руки и линии могут быть неточными. Проверь условие задачи или приложи угольник к углу. Если точного подтверждения нет, вид рисунка не даёт права делать вывод.
Ошибка — называть перпендикулярными прямые, которые не пересекаются. Можно перепутать их с линиями, которые выглядят направленными под прямым углом, но проходят в стороне друг от друга. По определению перпендикулярные прямые обязательно пересекаются и образуют прямой угол. Проверь, есть ли общая точка, и только потом оценивай угол.
Ошибка — отметить один угол как прямой, но считать остальные углы при пересечении не прямыми. Это происходит, если забыть свойства смежных и вертикальных углов. Смежный с прямым углом тоже равен 90°, а вертикальный ему равен. Проверь связи между углами: при пересечении двух прямых все четыре угла окажутся прямыми.
Ошибка — вести линию по стороне угольника, не проверив положение его другой стороны. Тогда угольник может лежать на прямой не тем ребром, а построенный угол получится неверным. Перед проведением линии убедись, что один катет совпал с заданной прямой, а второй проходит через нужную точку. После построения снова проверь угол угольником.
Для работы с перпендикулярными прямыми нужны знания о видах углов, прямом угле, смежных и вертикальных углах. Они помогают объяснить, почему после проверки одного угла можно сделать вывод о всех углах при пересечении. Также пригодятся линейка и угольник: линейкой проводят прямые, а угольником строят и проверяют прямой угол.
Перпендикулярность встречается на координатной плоскости: например, оси координат пересекаются под прямым углом. Она понадобится и в геометрических построениях, когда нужно провести точную линию через точку. Позже перпендикуляр поможет разобраться с расстоянием от точки до прямой: для этого используют отрезок, проведённый под прямым углом.
Как понять, что две прямые перпендикулярны?
Они пересекаются и образуют прямой угол, равный 90°. Если один из углов при пересечении прямых прямой, то прямыми будут и остальные.
Как обозначают перпендикулярные прямые?
Знак перпендикулярности — ⟂. Например, запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны.
Можно ли определить перпендикулярность только по рисунку?
Не всегда: чертёж может быть выполнен неточно, и прямые лишь выглядят перпендикулярными. Надёжный вывод делают по условию задачи или проверяют угол угольником.
Как провести перпендикуляр угольником?
Совместите один катет угольника с заданной прямой, а другой расположите так, чтобы он проходил через нужную точку. Проведите линию вдоль второго катета и проверьте, что угол получился прямым.
Как называется точка, где перпендикуляр пересекает прямую?
Она называется основанием перпендикуляра. Это точка, в которой перпендикуляр встречается с заданной прямой.
43. Перпендикулярные прямые
