§9. Координаты на плоскости

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, на которых выбраны единичные отрезки. Единичный отрезок задаёт, чему равна одна единица на оси. Координатная плоскость нужна, чтобы отмечать и находить точки по числам. Без неё пришлось бы описывать положение точки словами и приблизительно.

Координатные оси — две взаимно перпендикулярные числовые прямые: горизонтальная ось абсцисс и вертикальная ось ординат. Перпендикулярными называют прямые, которые пересекаются под прямым углом. На каждой оси есть числа и направления, поэтому по ней можно измерить положение точки. Разные направления осей позволяют описывать движение в двух направлениях.

Начало координат — точка пересечения осей; её координаты равны (0; 0). От этой точки отсчитывают расстояния по обеим осям. Ноль означает, что по соответствующему направлению точка не смещена. Начало координат служит отправной точкой при построении и чтении координат.

Координаты точки — пара чисел (x; y): первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Абсцисса показывает положение по горизонтали, а ордината — по вертикали. Порядок чисел важен: запись (2; 5) означает другое положение, чем (5; 2). Такая пара нужна, чтобы указать положение точки однозначно.

Как это устроено

Чтобы построить координатную плоскость, проводят горизонтальную и вертикальную оси так, чтобы они пересекались под прямым углом. В точке пересечения отмечают начало координат, а затем выбирают единичный отрезок на каждой оси. Это нужно сделать, потому что числа показывают не просто количество делений, а расстояние в выбранных единицах. Если масштабы на осях различаются, единичные отрезки всё равно проверяют отдельно.

Положение точки задают двумя числами, потому что точка на плоскости может быть сдвинута одновременно и влево или вправо, и вверх или вниз. Первое число определяет, насколько далеко пройти по оси абсцисс, а второе — по оси ординат. Если знать только одно число, можно определить положение лишь относительно одной оси, но не саму точку. Например, всем точкам с одной абсциссой соответствует одна вертикальная линия.

Чтобы найти точку по координатам, начинают от начала координат. Сначала проходят заданное расстояние по горизонтали, затем от полученного места — по вертикали. Такой порядок помогает не перепутать координаты и прийти в нужное место. Знак показывает направление: положительное значение откладывают в сторону положительных чисел, отрицательное — в сторону отрицательных.

Чтобы определить координаты отмеченной точки, через неё мысленно проводят линии, параллельные осям. Линия, параллельная вертикальной оси, показывает значение абсциссы на горизонтальной оси; линия, параллельная горизонтальной, помогает найти ординату на вертикальной. Линии нужны, чтобы перенести положение точки на шкалы осей и точно считать числа. Сначала записывают значение по горизонтали, затем по вертикали.

Знаки координат показывают, по какую сторону от осей расположена точка. Знак абсциссы определяет, находится ли точка справа или слева от вертикальной оси, а знак ординаты — выше или ниже горизонтальной оси. Поэтому по знакам можно заранее понять часть плоскости, где должна быть точка. Если одна координата равна нулю, точка лежит на соответствующей оси.

Элементы координатной плоскости

Пользуйся таблицей, чтобы проверить, какую ось и координату нужно взять. Для чтения пары чисел сначала найди абсциссу на горизонтальной оси, потом ординату на вертикальной. Начало координат помогает понять, откуда отсчитывать расстояние.

Разбор задач

Задача: отметьте на координатной плоскости точку A(3; 2). Нужно прочитать координаты в правильном порядке: сначала абсцисса 3, затем ордината 2. Оба числа положительные, поэтому двигаться нужно в положительных направлениях соответствующих осей. Последовательное перемещение приводит к точному положению точки.

1. Найдите начало координат (0; 0).
2. По горизонтальной оси пройдите 3 единицы вправо.
3. От полученного места поднимитесь на 2 единицы вверх и поставьте точку A.

Ответ: точка A находится на 3 единицы правее и на 2 единицы выше начала координат. Сначала использована абсцисса, затем ордината.

Задача: определите координаты точки B, расположенной на 4 единицы левее начала координат и на 1 единицу выше него. Направление влево соответствует отрицательным значениям горизонтальной оси. Направление вверх соответствует положительным значениям вертикальной оси. Так расстояния превращаются в числа с нужными знаками.

1. Запишите горизонтальное перемещение: 4 единицы влево дают абсциссу −4.
2. Запишите вертикальное перемещение: 1 единица вверх даёт ординату 1.
3. Поставьте числа в порядке «абсцисса; ордината».

Ответ: B(−4; 1). Проверка: отрицательная абсцисса указывает влево, а положительная ордината — вверх.

Задача: точка C имеет координаты (−2; 3). Найдите координаты точки D, симметричной C относительно оси ординат. При таком отражении точка оказывается на таком же расстоянии от оси, но с другой стороны. Поэтому горизонтальное положение меняется на противоположное, а высота остаётся прежней. Это правило помогает найти координаты без повторного измерения ординаты.

1. Запишите координаты C: абсцисса равна −2, ордината равна 3.
2. При симметрии относительно оси ординат поменяйте знак абсциссы: −2 превращается в 2.
3. Оставьте ординату равной 3 и запишите координаты D.

Ответ: D(2; 3). Проверка: обе точки находятся на одинаковой высоте и на равном расстоянии от оси ординат, но по разные стороны от неё.

Типичные ошибки

Ошибка: меняют координаты местами и записывают сначала ординату. Так бывает, если не помнить, что в паре числа имеют постоянный порядок. Перед записью проверьте, какое число показывает горизонтальное перемещение, а какое — вертикальное. Абсцисса всегда первая, ордината — вторая.

Ошибка: отрицательное число откладывают в положительном направлении. Часто ученик смотрит только на величину числа и забывает о знаке. Сначала определите направление на числовой оси: отрицательные значения лежат по другую сторону от нуля. Проверьте результат по расположению точки относительно оси.

Ошибка: считают деления, не проверив единичный отрезок. Она возникает, когда деления на разных осях принимают за одинаковую меру, не прочитав шкалу. Найдите на каждой оси отметки с числами и выясните, сколько делений составляет единицу. Затем проверьте, что пройденное расстояние соответствует нужному числу.

Ошибка: координаты считывают не с той оси. Причина — желание определить оба числа по ближайшей шкале или перепутать горизонтальное и вертикальное направления. Для проверки мысленно проведите от точки линии, параллельные осям. Абсциссу считывают с горизонтальной оси, ординату — с вертикальной.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужно уметь пользоваться числовой прямой и различать положительные и отрицательные числа. Эти знания объясняют, как выбирать направление и откладывать расстояния от нуля. Координатная плоскость, в свою очередь, пригодится при построении графиков зависимостей: значения двух величин можно представить как координаты точек. С её помощью также изображают геометрические фигуры и изучают положение их точек.

Что запомнить

• Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными числовыми осями.
• Горизонтальная ось — ось абсцисс, вертикальная — ось ординат.
• Начало координат имеет координаты (0; 0).
• В записи (x; y) первое число — абсцисса, второе — ордината.
• Положение точки определяется двумя координатами.
• Отрицательная координата откладывается от начала координат в сторону отрицательных чисел на соответствующей оси.