"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число. Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или установить, что таких значений нет. Для этого выполняют одинаковые действия с обеими частями равенства: так получают уравнения с теми же корнями. Слагаемые можно переносить в другую часть с изменением знака, а найденный ответ полезно проверить подстановкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обычно обозначенное буквой. Например, x + 4 = 9 — уравнение, а 5 + 4 = 9 — числовое равенство: в нём все числа известны. Неизвестное нужно найти так, чтобы равенство стало верным.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. В уравнении x + 4 = 9 числу 5 соответствует корень, потому что 5 + 4 = 9. Понятие корня позволяет отличить подходящее значение от любого другого числа.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Например, если неизвестное может принимать только одно подходящее значение, его записывают как ответ. Так формулируют не только вычисленное значение, но и результат поиска всех возможных решений.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же набором корней. Например, x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: в обоих случаях подходит только 5. При решении стараются заменять уравнение более простым, не меняя его корни.
Найденное значение неизвестного проверяют подстановкой в исходное уравнение: букву заменяют этим числом и вычисляют обе части. Если они равны, подстановка подтверждает, что число является корнем. Проверка важна потому, что при преобразованиях или вычислениях легко допустить ошибку, а исходное равенство сразу показывает, подходит ли ответ.
Равенство сохраняется, если к обеим его частям прибавить одно и то же число, вычесть одно и то же число, умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое число. Например, если к двум равным числам прибавить одинаковую величину, они останутся равными. Эти действия позволяют упростить уравнение, не меняя его корней, то есть получить равносильное уравнение.
Чтобы убрать слагаемое, прибавленное к неизвестному, вычитают его из обеих частей. Если слагаемое вычитается, к обеим частям прибавляют это число. Поэтому при краткой записи слагаемое словно переносится через знак равенства с противоположным знаком: за этим правилом стоит одинаковое действие с обеими частями, а не особый приём.
Если неизвестное умножено на число, обе части делят на этот множитель, чтобы оставить неизвестное без коэффициента. Если неизвестное разделено на число, обе части умножают на этот делитель. Делитель или множитель, на который делят, должен быть ненулевым: деление на ноль не определено, поэтому такое действие не сохраняет допустимые преобразования уравнения.
Когда уравнение сложное, сначала упрощают его части: раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые — складывают слагаемые с одинаковой буквенной частью. Затем слагаемые с неизвестным собирают в одной части, а числа — в другой. Такой порядок уменьшает число действий и помогает не спутать знаки; после упрощения неизвестное обычно удаётся найти обратными арифметическими действиями.
| Что нужно сделать | Действие с обеими частями | Что происходит со слагаемым или множителем |
|---|---|---|
| Устранить слагаемое, прибавленное к неизвестному | Вычесть одно и то же число | Слагаемое переносится в другую часть с противоположным знаком |
| Устранить вычитаемое слагаемое | Прибавить одно и то же число | Вычитаемое переносится в другую часть с противоположным знаком |
| Устранить множитель при неизвестном | Разделить обе части на одно и то же ненулевое число | Множитель переносится в другую часть как делитель |
| Устранить делитель при неизвестном | Умножить обе части на одно и то же ненулевое число | Делитель переносится в другую часть как множитель |
Сначала определи, что мешает оставить неизвестное отдельно: слагаемое, множитель или делитель. Затем выбери обратное действие и помни, что его нужно выполнить с обеими частями уравнения. Таблица помогает записать короткий перенос, не забывая, какие действия за ним стоят.
Ответ: x = 25.
Ответ: x = 7.
Ответ: x = 16.
Слагаемое иногда переносят в другую часть, оставляя прежний знак. Так происходит, если запомнить короткое правило, но забыть действие с обеими частями: при переносе знак меняется. Проверь себя, выполнив преобразование без переноса, например вычти слагаемое из обеих частей и сравни результат.
Другая ошибка — изменить только одну часть уравнения при умножении или делении. Ученик может сосредоточиться на неизвестном и забыть, что равенство сохранится только при одинаковом действии с обеими частями. После каждого шага проверь, записано ли одно и то же действие слева и справа.
Нельзя делить обе части на ноль или на выражение, которое может оказаться нулём. Иногда делитель считают обычным числом, не проверив, допустимо ли это; но деление на ноль не определено. Перед делением установи, что делитель ненулевой, и не сокращай уравнение на неизвестное выражение без проверки.
Если не проверить корень в исходном уравнении, ошибка в преобразованиях может остаться незамеченной. Число может выглядеть подходящим после вычислений, хотя в условии оно равенства не даёт. Подставь ответ вместо неизвестного именно в исходное уравнение и вычисли обе части отдельно.
Для решения уравнений нужны арифметические действия с числами: без них нельзя выполнять вычисления и применять обратные действия. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых помогают упростить более длинные записи. Само решение опирается на свойства равенств: одинаковые действия с обеими частями сохраняют равенство.
Уравнения помогают решать текстовые задачи: неизвестную величину обозначают буквой, а условие задачи записывают как равенство. Эти же способы пригодятся при изучении более сложных уравнений, где будет больше действий и преобразований. Поэтому важно понимать не только правило переноса, но и почему оно работает.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, для уравнения x + 2 = 5 корень равен 3, потому что 3 + 2 = 5.
Как проверить, является ли число корнем уравнения?
Подставь это число вместо неизвестного в исходное уравнение. Если после вычислений левая и правая части равны, число является корнем; если нет — не является.
Почему при переносе слагаемого меняется знак?
Перенос — это короткая запись действия с обеими частями уравнения. Чтобы убрать слагаемое из одной части, прибавляют к обеим частям противоположное число, поэтому в другой части знак слагаемого меняется.
Можно ли делить обе части уравнения на ноль?
Нет, деление на ноль не определено. Делить обе части можно только на одно и то же ненулевое число.
Зачем проверять ответ в исходном уравнении?
Проверка показывает, действительно ли найденное значение превращает исходное равенство в верное. Она помогает заметить ошибку, допущенную при преобразованиях или вычислениях.
42. Решение уравнений
