41. Подобные слагаемые

Определения и обозначения

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 3a и −5a подобны: в обоих случаях буквенное выражение — a. Такое определение помогает понять, какие части выражения можно объединить, а какие нужно оставить отдельно.

Буквенная часть слагаемого — это входящие в него буквы вместе с их показателями. Например, в 2xy буквенная часть — xy, а в 4x² — x². Для подобия должны совпадать и буквы, и показатели, иначе буквенные выражения не будут одинаковыми.

Коэффициент — числовой множитель буквенной части. В слагаемом 7m коэффициент равен 7, а если число не записано, то у a коэффициент равен 1, у −a — −1. Знание коэффициента позволяет складывать слагаемые, не изменяя буквы.

Приведение подобных слагаемых — замена нескольких подобных слагаемых одним, коэффициент которого равен сумме их коэффициентов. Например, 3a + 2a можно заменить на 5a. Это правило нужно, чтобы упрощать длинные выражения и удобнее выполнять дальнейшие вычисления.

Как это устроено

Сравнивать слагаемые нужно по буквенной части, а не по числам перед буквами. У 3a и −5a буквенная часть одна и та же — a, поэтому слагаемые подобны, хотя коэффициенты различаются. У 3a и 3b коэффициенты совпадают, но буквы разные, значит, сложить их в одно слагаемое нельзя.

Показатель степени тоже относится к буквенной части. Поэтому 2x и 2x² не подобны: первое слагаемое содержит x, а второе — x². Даже если коэффициенты равны и буква одна, разный показатель означает, что перед нами разные буквенные выражения.

Правило приведения можно увидеть на примере 3a + 2a. Первое слагаемое означает три раза взять a, второе — два раза взять такое же a, поэтому вместе получится пять раз взять a: 3a + 2a = 5a. Буквенная часть сохраняется, а числовые коэффициенты складываются, потому что считают одинаковые буквенные множители.

Знак слагаемого учитывается вместе с его коэффициентом. В выражении a − 4a у первого слагаемого коэффициент 1, а у второго −4, поэтому 1 − 4 = −3 и получается −3a. Если забыть знак минус или принять коэффициент a за ноль, результат будет неверным.

Подобные слагаемые могут стоять в разных местах выражения. Их разрешается переставить рядом, сохраняя знаки при каждом слагаемом, а затем сложить коэффициенты. Проверить упрощение можно раскрытием скобок или подстановкой числа вместо буквы: при подстановке исходное и упрощённое выражения должны давать одинаковое значение.

Как распознать и привести подобные слагаемые

В таблице буквенные части сравниваются без учёта коэффициентов. Если они совпадают, сложи коэффициенты с их знаками и запиши общую буквенную часть один раз. Если буквенные части отличаются, слагаемые не приводятся.

Разбор задач

Задача 1. Укажите подобные слагаемые в выражении 4x + 3y − 2x + y.

Найдем слагаемые с одинаковой буквенной частью. Коэффициенты при x могут отличаться, как и коэффициенты при y, но сами буквы должны совпадать. Слагаемые с x и с y объединять нельзя.

1. Выпишем буквенные части: у 4x и −2x это x, у 3y и y — y.
2. Сгруппируем слагаемые: (4x − 2x) + (3y + y).
3. Получим две группы подобных слагаемых: 4x и −2x, а также 3y и y.

Ответ: подобные слагаемые — 4x и −2x, 3y и y. Их приведение дает 2x + 4y.

Задача 2. Упростите выражение 6a − 9a + 2a.

У всех трех слагаемых буквенная часть a, поэтому их можно привести. Перед сложением внимательно запишем коэффициенты: перед 6a стоит 6, перед −9a — −9, перед 2a — 2. Букву a после вычисления коэффициентов оставим.

1. Запишем сумму коэффициентов: 6 + (−9) + 2.
2. Вычислим: 6 − 9 + 2 = −1.
3. Умножим полученный коэффициент на прежнюю буквенную часть: −1a = −a.

Ответ: −a.

Задача 3. Упростите выражение 3(2x − 1) − 2(x + 4) + 5x и найдите его значение при x = −2.

Пока скобки не раскрыты, часть слагаемых не видна, поэтому сначала умножим каждое слагаемое в скобках на число перед скобками. Затем сгруппируем слагаемые с x и отдельно числовые слагаемые. Подстановка x = −2 позволит проверить результат вычисления.

1. Раскроем скобки: 3(2x − 1) = 6x − 3, а −2(x + 4) = −2x − 8. Получим 6x − 3 − 2x − 8 + 5x.
2. Приведем слагаемые с x: 6x − 2x + 5x = 9x. Числовые слагаемые сложим отдельно: −3 − 8 = −11.
3. Упрощенное выражение равно 9x − 11. Подставим x = −2: 9 · (−2) − 11 = −18 − 11 = −29.

Ответ: 9x − 11; при x = −2 значение выражения равно −29.

Типичные ошибки

Ошибка: считать подобными 2a и 2b. Так иногда делают, заметив одинаковые коэффициенты, но буквенные части a и b различаются. Сравни именно буквы: эти слагаемые оставить отдельно, а проверкой будет невозможность заменить их одним слагаемым с прежней буквенной частью.

Ошибка: объединять 3x и 3x². Буква совпадает, поэтому легко не заметить, что у нее разные показатели. Сравнивай всю буквенную часть, включая степень: x и x² не совпадают, значит, слагаемые не подобны.

Ошибка: складывать буквенные части, например писать 2a + 3a = 5a². Это происходит, когда сложение слагаемых путают с умножением букв. При приведении складываются только коэффициенты, а буква сохраняется: 2a + 3a = 5a; результат можно проверить, подставив вместо a число.

Ошибка: потерять знак или неверно учесть коэффициенты 1 и −1. Например, в a − 4a коэффициенты равны 1 и −4, поэтому ответ −3a, а не 5a. Перед вычислением выпиши коэффициенты со знаками, а затем проверь сложение целых чисел.

Связь с другими темами

Чтобы приводить подобные слагаемые, нужно узнавать слагаемые в выражении и уметь складывать целые числа, в том числе отрицательные. Например, вычисление коэффициентов 6 − 9 + 2 выполняется по правилам сложения целых чисел. Эти знания позволяют не путать работу с буквами и вычисление чисел.

Приведение подобных слагаемых помогает упрощать буквенные выражения и раскрывать скобки: после раскрытия часто появляются слагаемые с одинаковой буквенной частью. Упрощенные выражения удобнее использовать при решении уравнений и проверке ответов. Поэтому навык пригодится и в следующих темах алгебры.

Что запомнить

• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• Коэффициенты у подобных слагаемых могут различаться.
• Слагаемые с разными буквами или показателями не являются подобными.
• При приведении подобных складывают коэффициенты.
• Буквенную часть при приведении сохраняют.
• У буквенного слагаемого без записанного коэффициента коэффициент равен 1; у −a — −1.