40. Коэффициент

Определения и обозначения

Коэффициент — это числовой множитель буквенного выражения. Например, в произведении 7·a коэффициентом служит число 7. Он показывает, какое число умножается на букву или несколько букв. Чтобы найти коэффициент, нужно отделить числовую часть произведения от буквенной.

Числовой множитель — это число, на которое умножается другая часть выражения. В записи 7·a число 7 является числовым множителем, а a — буквенной частью. Именно числовой множитель становится коэффициентом, когда произведение записано как буквенное выражение. Если таких чисел несколько, их объединяют умножением.

Буквенное выражение — выражение, в котором есть одна или несколько букв, например 4x или 3mn. Буква может обозначать число, значение которого пока неизвестно или меняется. Коэффициент указывает, какой числовой множитель стоит при буквенной части. Благодаря этому можно отличить число, умножаемое на буквы, от самих букв.

Как это устроено

Если выражение записано как произведение числа и букв, числовой множитель называют коэффициентом. Это удобно, потому что в произведении каждый множитель выполняет свою роль: число задаёт числовую часть, а буквы обозначают буквенную часть. Например, в 7·a число 7 умножается на a, поэтому оно и является коэффициентом. Запись 7a означает то же самое, только знак умножения между числом и буквой опущен.

Положительный числовой множитель записывают перед буквами, поэтому в выражении 7a коэффициент равен 7. Такое расположение помогает сразу увидеть числовую часть выражения. Если букв несколько, число также ставят перед ними: например, в 5mn коэффициент равен 5. Буквы после коэффициента составляют буквенную часть и не меняют его значения.

Если числовой множитель отрицательный, его знак минус записывают вместе с числом. Поэтому в выражении −4x коэффициент равен −4, а не 4: знак показывает, что буквенная часть умножается на отрицательное число. Отделять минус от коэффициента нельзя, иначе изменится значение выражения. Например, −4x и 4x имеют разные коэффициенты и обозначают противоположные по знаку произведения.

Единицу перед буквами обычно не пишут, чтобы не усложнять запись: выражение a означает 1·a. Поэтому коэффициент у a равен 1, даже если на бумаге числа нет. Минус перед буквой означает умножение на −1, так что −b — это (−1)·b. Значит, коэффициент выражения −b равен −1, а не просто −.

Иногда в произведении записано несколько числовых множителей. Чтобы получить коэффициент в обычной записи, их сначала перемножают, сохраняя знак результата. Например, 2·3x можно записать как 6x, и коэффициент будет 6. Точно так же в произведении (−2)·5mn коэффициент равен −10, потому что (−2)·5 = −10.

Коэффициенты буквенных выражений

В таблице числовая часть уже выделена или её можно получить умножением записанных множителей. Посмотри на знак и проверь, не подразумевается ли число 1 перед буквой. Для выражений с несколькими числами сначала найди их произведение.

Разбор задач

Задача 1. Укажите коэффициент выражения 8m.

Нужно найти числовой множитель при буквенной части, не выполняя дополнительных вычислений. В выражении 8m число 8 стоит перед буквой m и умножается на неё. Знак умножения между числом и буквой можно не писать. Значит, числовой множитель уже виден в готовой записи.

1. Выделим буквенную часть: это m.
2. Найдём число, которое умножается на m: это 8.
3. Проверим знак: число положительное, знак плюс обычно не пишут.

Ответ: коэффициент выражения 8m равен 8.

Задача 2. Укажите коэффициенты выражений −3a и −b.

В первом выражении перед буквой есть число и знак, а во втором записан только минус. Коэффициентом считается весь числовой множитель, поэтому знак нельзя отбросить. Если число перед буквой не указано, нужно восстановить подразумеваемую единицу. Так мы получим коэффициенты обоих выражений в одинаковом виде.

1. В выражении −3a буквенная часть — a, а числовой множитель — −3.
2. В выражении −b минус означает умножение на −1: −b = (−1)·b.
3. Запишем коэффициенты с их знаками: −3 и −1.

Ответ: коэффициент выражения −3a равен −3, а выражения −b — −1.

Задача 3. Представьте произведение (−2)·4xy в виде выражения с одним коэффициентом и укажите этот коэффициент.

Буквенная часть произведения — xy, а перед ней стоят два числовых множителя: −2 и 4. Чтобы записать выражение с одним коэффициентом, сначала перемножим числа. При умножении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Буквенную часть при этом оставим без изменений.

1. Выделим числовые множители: −2 и 4; буквенную часть: xy.
2. Перемножим числа: (−2)·4 = −8.
3. Поставим полученный коэффициент перед буквами: −8xy.

Ответ: произведение записывается как −8xy, его коэффициент равен −8.

Типичные ошибки

Ошибка: считать коэффициентом только число без знака. Например, для −5a иногда называют коэффициент 5, потому что замечают число, но забывают минус. Знак входит в числовой множитель, поэтому коэффициент равен −5. Проверь себя: при умножении на отрицательное число знак выражения нельзя потерять.

Ошибка: думать, что у выражения a коэффициента нет. Единицу часто не записывают, и кажется, будто при букве вообще нет числа. Но a означает 1·a, поэтому коэффициент равен 1. Для проверки можно мысленно поставить перед буквой пропущенный множитель.

Ошибка: считать коэффициентом выражения −x число 1. Минус здесь не отдельный знак без значения, а часть числового множителя: он показывает умножение на −1. Поэтому коэффициент равен −1. Чтобы проверить ответ, восстанови запись (−1)·x.

Ошибка: не перемножать числовые множители, если их несколько. Например, в записи 2·3a коэффициентом ошибочно называют 2 или 3, хотя перед буквенной частью действует их произведение. Сначала вычисли 2·3 и получи коэффициент 6. Проверка проста: перепиши выражение как 6a и сравни, что числовая часть сохранена.

Связь с другими темами

Для поиска коэффициента нужно уметь распознавать произведение и находить его множители. Например, в 2·3a важно отличить числовые множители 2 и 3 от буквенной части a. Затем коэффициент помогает упрощать буквенные выражения: несколько числовых множителей можно заменить их произведением. Это понятие пригодится и при приведении подобных слагаемых, когда складывают или вычитают их коэффициенты.

Что запомнить

• Коэффициент — числовой множитель буквенного выражения.
• Коэффициент записывают перед буквенной частью.
• Знак коэффициента учитывают обязательно.
• У выражения a коэффициент равен 1.
• У выражения −a коэффициент равен −1.
• Несколько числовых множителей сначала перемножают.