2. Коэффициент

Определения и обозначения

Коэффициент — это числовой множитель произведения, в котором есть буквы. Например, в произведении 4·a·b числовым множителем служит 4, поэтому коэффициент буквенной части ab равен 4. Чтобы найти его, нужно выделить число среди множителей, а не принимать за коэффициент всё выражение целиком.

Коэффициентом буквенного выражения называют число, на которое умножено это выражение. В записи 5ab число 5 умножается на буквенную часть ab, значит, коэффициент равен 5. Такое разделение помогает увидеть строение выражения и сравнивать его с другими выражениями.

Если числовой множитель не записан, коэффициент всё равно есть: он равен 1. Запись a означает то же, что 1·a, потому что умножение на единицу не меняет число или выражение. Поэтому отсутствие числа перед буквой не означает, что множителя нет.

Минус перед буквенным выражением означает, что оно умножено на −1: −a = (−1)·a. Следовательно, коэффициент выражения −a равен −1. Эта запись нужна, чтобы учитывать знак выражения, а не только его буквенную часть.

Как это устроено

В произведении 4·a·b можно выделить числовую часть 4 и буквенную часть ab. Знак умножения между буквами обычно не пишут, поэтому вместо 4·a·b записывают 4ab. Такая краткая запись удобна, но порядок множителей помогает понять, что число относится к буквенной части как множитель.

Числовой множитель можно поставить перед буквами благодаря переместительному свойству умножения: от перестановки множителей произведение не меняется. А сочетательное свойство позволяет сначала сгруппировать множители так, как удобнее: например, 4·a·b = 4·(a·b). Поэтому числовую и буквенную части можно записать отдельно, не меняя значения выражения.

Если множитель отрицательный, знак минус тоже является частью числа. Например, −3·m·n записывают как −3mn, и коэффициент здесь −3. Если бы коэффициентом считали только 3, знак выражения изменился бы: −3mn и 3mn обозначают разные выражения.

Коэффициент не обязательно целый и положительный: им может быть дробь или ноль. В записи ½·y коэффициент равен ½, потому что дробь умножается на y. В выражении 0·a коэффициент равен 0, а всё произведение равно нулю при любом значении a.

Записи 5·a·b и 5ab обозначают одно произведение: во второй записи знаки умножения между буквами и числом не ставят. Буквы, стоящие рядом, означают, что они перемножаются, но не становятся частью коэффициента. Поэтому в 5ab коэффициент — 5, а буквенная часть — ab; аналогично, в −ab коэффициент −1.

Как определить коэффициент буквенного выражения

Чтобы пользоваться таблицей, найди число, умноженное на буквы, и запиши его вместе со знаком. Если числа не видно, подставь подразумеваемый коэффициент 1 или −1. Оставшиеся буквы образуют буквенную часть.

Разбор задач

Задача 1. Запишите произведение 6·a·b в виде буквенного выражения и укажите его коэффициент. Сначала нужно понять, какие множители являются числовыми, а какие — буквенными. Затем число записывают перед буквами, а знак умножения между множителями можно опустить.

1. Выделим числовой множитель: это 6.
2. Буквенные множители a и b запишем рядом: ab.
3. Соединим части: получим 6ab, где коэффициент равен 6.

Ответ: 6ab; коэффициент 6.

Задача 2. Укажите коэффициенты выражений −x, y и −4ab. В каждом случае отделим число от букв, не забывая, что невидимый множитель тоже нужно учитывать. Отрицательный знак относится к числовому множителю, поэтому его нельзя отделять от числа.

1. −x = (−1)·x, значит, коэффициент равен −1.
2. y = 1·y, значит, коэффициент равен 1.
3. −4ab = (−4)·ab, значит, коэффициент равен −4.

Ответ: −1; 1; −4.

Задача 3. Запишите 3/5·m·n в виде произведения числа и буквенного выражения, укажите коэффициент и сравните его с коэффициентом выражения −mn. Дробь здесь играет ту же роль, что и целое число в предыдущих примерах. Во втором выражении числовой множитель не написан, но знак показывает, что он отрицательный.

1. Запишем произведение без знаков умножения: 3/5·m·n = 3/5mn.
2. Выделим множители: числовой — 3/5, буквенная часть — mn.
3. В выражении −mn подразумевается множитель −1, поэтому его коэффициент равен −1.
4. Сравним коэффициенты: 3/5 положителен, а −1 отрицателен; они не равны.

Ответ: 3/5mn = (3/5)·mn, коэффициент 3/5; у −mn коэффициент −1.

Типичные ошибки

Забыть знак у отрицательного коэффициента. Например, в −3a иногда называют коэффициентом 3, потому что замечают число и не учитывают минус. Но тогда знак всего выражения будет потерян: −3a не равно 3a. Проверь себя, записав выражение как произведение: −3a = (−3)·a.

Считать, что у a коэффициента нет. Число перед буквой часто не пишут, и кажется, будто множитель отсутствует. На самом деле подразумевается 1, ведь 1·a = a. Для проверки восстанови число, которое не изменяет выражение при умножении.

Считать коэффициентом выражения −a число 1. Здесь видна буква, а знак минус может показаться просто частью записи. Однако −a = (−1)·a, поэтому коэффициент равен −1. Проверка простая: перед буквенной частью стоит отрицательный числовой множитель.

Принимать буквы за часть коэффициента. В выражении −5ab можно ошибочно назвать коэффициентом −5ab целиком. Но коэффициент — только числовой множитель −5, а буквенная часть — ab. Раздели выражение на число и буквы, чтобы проверить ответ.

Связь с другими темами

Чтобы находить коэффициент, нужно уметь распознавать произведение и различать числовые и буквенные множители. Свойства умножения помогают менять порядок множителей и группировать их, не изменяя выражение. Коэффициенты нужны при записи и преобразовании буквенных выражений: например, они помогают видеть, какие слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Это пригодится при приведении подобных слагаемых.

Что запомнить

• Коэффициент — числовой множитель буквенного выражения.
• Коэффициент записывают перед буквенной частью.
• В выражении a коэффициент равен 1.
• В выражении −a коэффициент равен −1.
• Знак числа входит в коэффициент.
• В выражении −5ab коэффициент равен −5, буквенная часть — ab.