3. Приведение подобных слагаемых

Определения и обозначения

Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью: в ней совпадают буквы и их показатели. Например, 3x и −5x подобны, а 3x и 3y — нет. Это определение помогает понять, какие части выражения можно объединить.

Коэффициент — числовой множитель буквенной части слагаемого. В записи 4a коэффициент равен 4, а если число не указано, считают, что коэффициент равен 1: a = 1a. Коэффициент нужен, чтобы при приведении сложить именно числа, стоящие при одинаковых буквах.

Приведение подобных слагаемых — замена нескольких подобных слагаемых одним слагаемым. Например, 2b + 6b можно заменить на 8b. Это действие помогает записать выражение короче, не меняя его значения.

Как это устроено

Чтобы проверить, подобны ли слагаемые, сравнивают их буквенные части полностью. Так, 2ab и −7ab подобны, потому что в обоих случаях стоят буквы a и b с одинаковыми показателями. Слагаемые 2a и 2b не подобны: одна и та же числовая часть не делает разные буквы одинаковыми. Значит, ориентироваться нужно не на числа, а на буквенную часть.

Показатели тоже входят в буквенную часть, поэтому x и x² — разные части. В x подразумевается первая степень, а в x² показатель равен двум. Складывать эти слагаемые как подобные нельзя: при разных значениях x они изменяются по-разному. Сначала сравнивай каждую букву и её показатель, а не только внешний вид записи.

Подобные слагаемые можно объединять, потому что у них один и тот же буквенный множитель, умноженный на разные числа. Например, 3a + 2a — это три одинаковые части a и ещё две такие же части. Всего получается пять частей a, то есть 5a. По той же причине 4x − x означает четыре части x без одной части x.

Отсюда следует правило: сложи коэффициенты подобных слагаемых, а общую буквенную часть оставь без изменения. Например, 6m + 2m = (6 + 2)m = 8m. Буквы не складывают и не меняют их показатели, потому что они обозначают одинаковый множитель. В результате меняется только число частей этого множителя.

Если коэффициент не записан, учитывай его как 1, а если перед слагаемым стоит минус — как −1. Поэтому a + 4a = (1 + 4)a = 5a, а −a + 3a = (−1 + 3)a = 2a. В выражении с разными буквенными частями можно переставить слагаемые и сгруппировать подобные. Например, 2x + y + 3x содержит группу 2x и 3x, а слагаемое y остаётся отдельно.

Как распознавать и приводить подобные слагаемые

Сначала найди буквенную часть каждого слагаемого, затем сравни её с остальными по буквам и показателям. Если части совпали, сложи коэффициенты с учётом знаков; если нет — оставь слагаемые отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Приведите подобные слагаемые: 4x + 3x. У обоих слагаемых буквенная часть x, значит, их можно объединить. Нужно сложить числовые коэффициенты, не меняя x.

1. Запишем коэффициенты: 4 и 3.
2. Сложим их: 4 + 3 = 7.
3. Оставим общую буквенную часть: 7x.

Ответ: 7x.

Задача 2. Упростите выражение: 5a − 2a + a. Все слагаемые имеют одну буквенную часть a, поэтому можно собрать их коэффициенты. У последнего слагаемого число не написано, значит, его коэффициент равен 1; у второго коэффициент отрицательный из-за знака минус.

1. Перепишем выражение с коэффициентами: 5a + (−2)a + 1a.
2. Сложим коэффициенты с их знаками: 5 − 2 + 1 = 4.
3. Припишем прежнюю буквенную часть: получим 4a.

Ответ: 4a.

Задача 3. Упростите выражение: 3x + 2y − x + 4y + 2x². Здесь есть слагаемые с x, с y и с x². Сначала распределим их по группам: так будет видно, какие можно сложить, а какие должны остаться отдельно.

1. Сгруппируем слагаемые: (3x − x) + (2y + 4y) + 2x².
2. В первой группе коэффициенты равны 3 и −1, поэтому 3x − x = 2x.
3. Во второй группе складываем 2 и 4: 2y + 4y = 6y.
4. Слагаемое 2x² оставим: его буквенная часть не совпадает ни с x, ни с y.
5. Запишем результат: 2x + 6y + 2x².

Ответ: 2x + 6y + 2x².

Типичные ошибки

Первая ошибка — сложить слагаемые с разными буквами, например x и y. Так делают, потому что замечают в обоих слагаемых буквы, но не сравнивают сами буквы. Проверка простая: если буквенные части не совпадают, оставь слагаемые раздельно.

Вторая ошибка — считать подобными x и x². Буква здесь одна и та же, поэтому показатель легко не заметить. Перед приведением проверь все показатели: первая и вторая степени дают разные буквенные части, значит, эти слагаемые нельзя объединять.

Третья ошибка — забыть знак или принять коэффициент при −a за 1. Минус относится ко всему слагаемому, поэтому коэффициент у −a равен −1. Для проверки перепиши выражение с явными коэффициентами: например, −a + 3a = (−1 + 3)a.

Четвёртая ошибка — сложить не только коэффициенты, но и изменить буквенную часть, например получить 7x² из 3x + 4x. Коэффициенты здесь складываются, а буква и её показатель сохраняются без изменений, поэтому правильный результат — 7x. Сверь итог с исходной общей буквенной частью: она должна остаться прежней.

Связь с другими темами

Для приведения подобных слагаемых нужно уметь записывать буквенные выражения и находить коэффициент одночлена. Эти знания помогают правильно увидеть, какое число стоит перед буквенной частью, в том числе когда оно не записано. Приведение используют при упрощении выражений и раскрытии скобок. Оно также помогает преобразовывать выражения при решении уравнений.

Что запомнить

• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть.
• Буквенная часть включает и буквы, и их показатели.
• При приведении складывают коэффициенты.
• Общую буквенную часть сохраняют.
• Коэффициент при a равен 1, а при −a равен −1.
• Неподобные слагаемые нельзя объединить приведением.