"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Раскрытие скобок помогает заменить выражение со скобками равным ему выражением без скобок. Это удобно, когда нужно упростить запись или привести подобные слагаемые. Правило основано на распределительном свойстве умножения: множитель перед скобками относится к каждому слагаемому внутри. Если перед скобками стоит минус, знаки всех слагаемых меняются на противоположные, а при плюсе остаются прежними.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Раскрытие скобок — преобразование выражения, при котором скобки заменяют равным выражением без скобок. Например, запись 4(x + 2) можно заменить на 4x + 8. Значение выражения от этого не меняется. Такой приём нужен, чтобы удобнее считать или упрощать буквенные выражения.
Распределительное свойство умножения относительно сложения означает: чтобы умножить сумму на число, умножают на это число каждое слагаемое и складывают результаты. Например, 3(5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2. Это правило позволяет убрать скобки, если перед ними стоит множитель. Оно работает и для букв, и для отрицательных чисел.
Коэффициент перед скобками — множитель, на который умножают каждое слагаемое внутри скобок. В записи 5(a − 3) коэффициентом служит число 5. Его нужно умножить и на a, и на −3, поэтому получится 5a − 15. Понимание этого помогает не забыть ни один член выражения.
Противоположное число — число, сумма которого с данным числом равна нулю. Например, для 6 противоположное число — −6, а для −2 — 2. Поэтому умножение на −1 меняет знак числа: 7 · (−1) = −7. Это объясняет, почему при минусе перед скобками знаки всех слагаемых становятся противоположными.
Раскрытие скобок основано на распределительном свойстве: равенство a(b + c) = ab + ac следует из смысла умножения суммы на число. Умножить сумму b + c на a — значит взять эту сумму a раз. Если сгруппировать одинаковые слагаемые, получится a слагаемых b и a слагаемых c, то есть ab + ac. Поэтому множитель распределяется по всем членам скобок, а значение выражения сохраняется.
Если перед скобками стоит знак «+», скобки можно убрать, не меняя знаков слагаемых. Например, в выражении 7 + (x − 4) к числу 7 прибавляют всё выражение x − 4. Это равносильно записи 7 + x − 4: ни x, ни −4 не превращаются в противоположные числа. Скобки здесь лишь показывают, какие слагаемые объединены в прибавляемое выражение.
Если перед скобками стоит знак «−», каждое слагаемое внутри скобок меняет знак. Вычитание суммы равносильно умножению её на −1, а при умножении на −1 каждый член получает противоположный знак. Например, a − (b + c) = a − b − c, а a − (b − c) = a − b + c. Менять знак нужно у каждого члена, даже если в скобках их больше двух.
Если перед скобками стоит число или буквенное выражение, каждый член в скобках умножают на этот множитель, учитывая его знак. В записи 2(x + 3) число 2 умножается и на x, и на 3. Если множитель отрицательный, результат каждого умножения определяют с учётом знаков: −2(x − 3) = −2x + 6. После раскрытия скобок выражение можно упростить, например сложить подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью.
| Запись | Действие со скобками | Результат |
|---|---|---|
| Перед скобками стоит «+» | Убрать скобки, знаки слагаемых сохранить | a + (b − c) = a + b − c |
| Перед скобками стоит «−» | Убрать скобки, знаки всех слагаемых изменить на противоположные | a − (b − c) = a − b + c |
| Перед скобками стоит множитель k | Умножить каждое слагаемое в скобках на k | k(a + b) = ka + kb |
| Перед скобками стоит отрицательный множитель −k | Умножить каждое слагаемое на отрицательный множитель, учитывая знаки | −k(a − b) = −ka + kb |
Сначала найди знак или множитель непосредственно перед скобками, а затем выбери подходящее правило. В выражении с числом перед скобками умножай на него каждый член, а не только первый. После раскрытия проверь знаки и при необходимости упрости результат.
Перед скобками стоит знак «+», значит, всё выражение в скобках прибавляется к 8. Знаки его слагаемых сохраняются: x остаётся со знаком плюс, а 3 — со знаком минус. После этого можно убрать скобки и записать выражение без них. Числовые слагаемые пока не подобны буквенным, поэтому объединять их не нужно.
Ответ: x + 5.
Перед скобками стоит минус, поэтому при их удалении меняем знак каждого слагаемого внутри. Число 5 со знаком плюс становится −5, а слагаемое −y становится +y. Затем складываем числа 14 и −5, так как они оба числовые. Буквенное слагаемое y остаётся в выражении.
Ответ: 9 + y.
В выражении две пары скобок, и перед каждой стоит множитель. Значит, для каждой скобки отдельно умножаем множитель на каждый член внутри. В первой паре отрицательное число −3 умножается и на 2x, и на −4; произведение двух отрицательных чисел будет положительным. Во второй паре множитель 2 умножается на x и на 5, а затем можно собрать слагаемые с x и отдельно числа.
Ответ: −4x + 22.
Первая ошибка — при минусе перед скобками изменить знак только у первого слагаемого. Так бывает, если ученик воспринимает минус как знак лишь перед ближайшим членом, но он относится ко всему выражению в скобках. Из-за этого, например, a − (b − c) ошибочно записывают как a − b − c. Проверь себя: мысленно умножь каждый член скобок на −1.
Вторая ошибка — умножить коэффициент только на первый член в скобках. Это происходит, когда забывают распределительное свойство и не замечают остальные слагаемые. Например, 3(x + 2) нельзя заменить на 3x + 2: число 3 должно умножить и на 2. Чтобы проверить запись, проведи стрелку от множителя к каждому члену скобок или выпиши оба произведения.
Третья ошибка — считать, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно. Знаки здесь часто путают, потому что перед скобками уже есть минус и внутри тоже может быть минус. Но отрицательное число, умноженное на отрицательное, даёт положительное: (−3) · (−4) = 12. Проверяй знак каждого отдельного произведения до того, как сложить результаты.
Четвёртая ошибка — после раскрытия скобок потерять знак или множитель у одного из слагаемых. Это случается при длинной записи, когда внимание сосредоточено на первом члене. Сверь результат с исходными скобками: каждому их члену должно соответствовать отдельное произведение или, при внешнем минусе, изменённый знак. Если какой-то член не учтён, преобразование неверно.
Для раскрытия скобок нужно уметь складывать, вычитать и умножать целые числа, в том числе числа с разными знаками. Особенно пригодится знание того, как определить знак произведения отрицательных чисел. Если эти действия вызывают затруднение, сначала повтори их на простых числовых примерах.
Основой темы служит распределительное свойство умножения относительно сложения. Оно связывает вычисления с числами и преобразования буквенных выражений: вместо одной записи можно получить равную ей другую. Это свойство помогает упростить выражение и удобнее работать с подобными слагаемыми.
Раскрытие скобок пригодится при решении уравнений и преобразовании выражений с подобными слагаемыми. Оно позволяет привести запись к более удобному виду, чтобы затем выполнять следующие действия. Поэтому важно не только знать правило, но и аккуратно следить за каждым знаком.
Почему при знаке «−» перед скобками меняются знаки всех слагаемых?
Вычесть сумму — то же самое, что умножить её на −1. При умножении на −1 каждое слагаемое меняет знак, поэтому меняются знаки всех слагаемых в скобках.
Нужно ли менять знаки, если перед скобками стоит «+»?
Нет, при знаке «+» знаки слагаемых сохраняются. Скобки просто убирают, потому что выражение прибавляется целиком.
На какие слагаемые нужно умножить число перед скобками?
Множитель нужно умножить на каждое слагаемое внутри скобок. Нельзя умножить его только на первый член и забыть остальные.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит отрицательное число?
Умножь отрицательное число на каждое слагаемое в скобках. При умножении учитывай знаки: произведение двух отрицательных чисел положительно.
Можно ли после раскрытия скобок сразу привести подобные слагаемые?
Да, если после раскрытия есть слагаемые с одинаковой буквенной частью, их можно объединить. Сначала внимательно раскрой скобки, а затем выполни упрощение.
39. Раскрытие скобок
