"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Уравнение — это равенство с неизвестным числом, и от значения неизвестного зависит, будет ли равенство верным. Решить уравнение — значит найти все значения, при которых это происходит, или доказать, что таких значений нет. Чтобы упростить поиск, к обеим частям уравнения применяют одинаковые действия. Главное — сохранять равенство, не делить на ноль и проверять найденный ответ подстановкой в исходную запись.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой. Истинность такого равенства зависит от того, какое число поставить вместо неизвестного: при одном значении левая и правая части могут быть равны, а при другом — нет. Например, в записи x + 4 = 9 неизвестное обозначено буквой x. Понятие уравнения помогает описывать задачи, в которых число заранее неизвестно.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Например, для уравнения x + 4 = 9 корнем будет 5, потому что 5 + 4 = 9. Значение, которое не делает равенство верным, корнем не является. Это определение нужно, чтобы понимать, какое число мы ищем при решении.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Нельзя остановиться на первом подходящем значении, если уравнение может иметь и другие корни. Иногда решение приводит к выводу, что подходящих чисел нет. Поэтому результатом решения может быть как набор корней, так и утверждение об их отсутствии.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения x + 3 = 8 и x = 5 равносильны: оба имеют один и тот же корень. Преобразуя уравнение, стараются получить более простое, но сохранить все его корни. Это позволяет решать сложную запись по шагам, не меняя ответа.
Чтобы проверить, является ли заданное число корнем, подставь его вместо неизвестного в исходное уравнение. Затем вычисли левую и правую части отдельно, соблюдая порядок действий. Если получились одинаковые числа, подстановка превратила уравнение в верное равенство. Если результаты различаются, это число не подходит, даже если оно кажется удобным по виду записи.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число, потому что равные числа останутся равными после такого действия. Например, если a = b, то a + c = b + c. Вычитание работает по той же причине: из равных чисел вычитают одинаковое число и получают равные результаты. Это помогает убрать слагаемое рядом с неизвестным: нужное действие выполняют одновременно слева и справа.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство: равные величины увеличиваются или уменьшаются одинаково. При делении действует похожее правило, но делитель обязательно должен быть ненулевым, потому что деление на ноль невозможно. Такие действия помогают избавиться от общего множителя или коэффициента при неизвестном. Например, если 5x = 20, деление обеих частей на 5 даёт более простую запись x = 4.
Свойства равенств позволяют переносить слагаемые через знак равенства. На самом деле перенос — это короткая запись действия с обеими частями: чтобы убрать слагаемое с одной стороны, прибавляют или вычитают его с обеих сторон. Поэтому при переносе слагаемое меняет знак: плюс становится минусом, а минус — плюсом. После переноса уравнение обычно становится короче и удобнее для вычислений.
После преобразований нужно подставить найденное значение в исходное уравнение, а не только в промежуточную запись. Сравни значения обеих частей и убедись, что они одинаковы. Такая проверка важна, потому что ошибка могла возникнуть при раскрытии скобок, переносе слагаемого или вычислении. Если равенство не получилось, нужно найти неверный шаг и решить уравнение заново.
В таблице собраны действия, которые применяют к обеим частям уравнения, чтобы получить более простую запись. При каждом действии следи, чтобы оно выполнялось с обеими частями и не меняло набор корней. Деление допустимо только на ненулевое число.
| Действие с уравнением | Что сделать с обеими частями | Для чего применять |
|---|---|---|
| Прибавление числа | Прибавить одно и то же число | Убрать слагаемое или изменить часть уравнения |
| Вычитание числа | Вычесть одно и то же число | Убрать слагаемое, чтобы оставить неизвестное отдельно |
| Умножение на ненулевое число | Умножить обе части на одно и то же число | Упростить запись или избавиться от дробей |
| Деление на ненулевое число | Разделить обе части на одно и то же число | Убрать коэффициент при неизвестном |
Задача 1. Решить уравнение x + 8 = 15. Здесь к неизвестному прибавили 8, поэтому, чтобы оставить x отдельно, нужно убрать это слагаемое. Выполним одинаковое действие с обеими частями, сохраняя равенство. После вычисления проверим ответ в исходной записи.
Ответ: 7. Подстановка подтвердила, что найденное значение подходит. Мы не просто убрали число 8, а вычли его с обеих сторон уравнения. Поэтому равенство сохранилось.
Задача 2. Решить уравнение 5x − 7 = 18. Неизвестное сначала умножено на 5, а затем из результата вычли 7. Удобно выполнять обратные действия в обратном порядке: сначала убрать вычитание 7, затем коэффициент 5. Каждое действие применим к обеим частям.
Ответ: 5. Проверка дала 18 — столько же, сколько стоит в правой части. Значит, действия выполнены верно. При делении мы использовали число 5, не равное нулю.
Задача 3. Решить уравнение 3(x − 2) + 4 = 16. Сначала упростим выражение со скобками: умножим 3 на каждое слагаемое внутри скобок. Затем уберём слагаемые, не содержащие x, и разделим на коэффициент при неизвестном. Проверка в конце покажет, сохранили ли мы корень при преобразованиях.
Ответ: 6. Левая часть после подстановки равна правой, поэтому 6 — корень. Каждый шаг сделал уравнение проще, не изменив его корень. Обрати внимание: проверяли именно исходную запись со скобками.
Если прибавить число только к одной части уравнения, равенство может нарушиться. Так ошибаются, когда воспринимают действие как изменение одной строки, а не обеих частей равенства. Например, из x + 4 = 10 нельзя получить x + 4 + 3 = 10, просто прибавив 3 слева. Проверяй себя: одинаковое действие должно быть записано и слева, и справа от знака равенства.
При переносе слагаемого иногда забывают изменить его знак. Это происходит потому, что перенос выглядит как перемещение числа через знак равенства, хотя на самом деле за ним стоит вычитание или прибавление с обеих сторон. Например, при переносе +6 вправо оно становится −6. Проверь шаг, выполнив действие с обеими частями: так станет ясно, какой знак нужен.
Деление обеих частей на ноль недопустимо. Ошибка может появиться, если ученик делит на число, не проверив, равно ли оно нулю, или пытается убрать множитель без разбора. Деление на ненулевое число сохраняет равенство, а деление на ноль не имеет смысла. Перед делением обязательно посмотри на делитель и убедись, что он не равен нулю.
Если не проверить найденный корень, ошибка в преобразованиях может остаться незамеченной. Иногда вычисления выглядят правдоподобно, хотя на одном шаге изменился знак или неверно раскрылись скобки. Подставь ответ в исходное уравнение и сравни значения обеих частей. Если они различаются, ответ не подходит и решение нужно перепроверить.
Для решения уравнений нужны знания о числовом равенстве и умение выполнять действия с натуральными, целыми и дробными числами. Если вычисления с числами вызывают затруднение, полезно сначала повторить сложение, вычитание, умножение и деление. Уравнение помогает записать условие задачи с неизвестной величиной. Поэтому навык решения уравнений пригодится при составлении математической модели по тексту задачи.
В дальнейшем уравнения станут сложнее: в них могут появляться скобки, дроби и несколько действий с неизвестным. Правила сохранения равенства останутся основой решения. Умение преобразовывать уравнение пригодится и в других разделах математики, где требуется найти неизвестную величину. Проверка корня подстановкой также останется способом убедиться в ответе.
Что называют корнем уравнения?
Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Например, число 7 — корень уравнения x + 3 = 10.
Как проверить, что число является корнем уравнения?
Подставь это число вместо неизвестного и отдельно вычисли левую и правую части. Если получились одинаковые числа, значение является корнем; если разные — нет.
Почему одно и то же число нужно прибавлять к обеим частям?
Так равенство сохраняется: если две части были равны, то после прибавления к каждой одного и того же числа они останутся равны. Если прибавить число только к одной части, равенство может нарушиться.
Можно ли разделить обе части уравнения на ноль?
Нет, делить на ноль нельзя: такое действие не определено. Поэтому при делении обеих частей уравнения делитель обязательно должен быть ненулевым.
Зачем проверять найденный корень?
Проверка показывает, верно ли решено уравнение. Подстановка в исходную запись помогает заметить ошибку, которая могла появиться при преобразованиях.
§8. Решение уравнений
