44. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Условие об одной плоскости означает, что прямые расположены на одной ровной поверхности, например на листе бумаги. Условие «не пересекаются» относится ко всей прямой, а не только к её видимой части. Оба условия вместе помогают точно определить параллельность.

Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны. Знак ∥ показывает взаимное расположение прямых: они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Буквы a и b здесь служат названиями прямых. Такое обозначение удобно использовать в чертежах и решениях задач.

Параллельными отрезками называют отрезки, лежащие на параллельных прямых. Сами отрезки могут находиться в разных местах и не иметь общих точек, а их длины могут различаться. Чтобы установить параллельность, рассматривают не только концы отрезков, но и прямые, на которых они лежат. Это позволяет отличить параллельность от простого непересечения.

Параллельными лучами называют лучи, лежащие на параллельных прямых. Нужно различать направление самих лучей и параллельность прямых, которые их содержат: лучи могут быть направлены в одну сторону или в противоположные. В обоих случаях их содержащие прямые параллельны. Поэтому направление луча не меняет ответа о параллельности этих прямых.

Как это устроено

На рисунке две линии могут выглядеть так, будто они никогда не встретятся, но этого недостаточно для вывода. Рисунок показывает лишь часть прямых и может быть выполнен неточно. Кроме того, в пространстве линии способны не пересекаться, хотя расположены в разных плоскостях. Поэтому при проверке сначала выясняют, лежат ли прямые в одной плоскости, а затем устанавливают, пересекаются ли они.

На чертеже параллельные прямые изображают как две линии, идущие рядом и не встречающиеся. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, даже если она оказалась бы далеко за краем нарисованного участка. Совпадающие прямые — это не две разные линии, а одна и та же прямая, проходящая через все общие точки. Чтобы не спутать эти случаи, представляют прямые продолженными в обе стороны и проверяют их взаимное положение.

Отрезок и луч — только части прямой: отрезок ограничен двумя концами, а луч начинается в одной точке и продолжается в одну сторону. Поэтому их параллельность определяют через прямые, на которых они лежат. Если эти прямые параллельны, отрезки или лучи называют параллельными, даже когда сами части линии не пересекаются или имеют разную длину. Для лучей дополнительно можно сравнить направления, но это не меняет параллельности содержащих их прямых.

Параллельность можно установить с помощью перпендикулярности. Если две прямые пересекают третью под прямым углом, то обе направлены одинаково относительно этой третьей прямой и не пересекутся между собой. Значит, в одной плоскости две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Этот признак особенно удобен, когда на чертеже отмечены прямые углы.

Запись a ∥ b сообщает не просто, что линии выглядят похожими: она утверждает, что прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если известна перпендикулярность обеих прямых к одной прямой, это также может обосновать запись a ∥ b. Сам символ не говорит о длине отрезков на этих прямых или о направлении лучей. Такие свойства нужно рассматривать отдельно.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Сначала выясни, есть ли у прямых общая точка: если есть, они пересекаются, а если нет и прямые лежат в одной плоскости — параллельны. Перпендикулярные прямые тоже пересекаются, но образуют прямой угол. Поэтому перпендикулярность не противоположна пересечению, а уточняет его особый случай.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке прямые a и b не пересекаются. Можно ли сразу заключить, что они параллельны? Уточните, какое условие определения нужно проверить.

1. Вспоминаем определение: параллельными называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. На рисунке видно только, что показанные части линий не встречаются. Этого наблюдения недостаточно, чтобы проверить оба условия.

2. Уточняем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Если рисунок не позволяет это установить, нужно получить такую информацию из условия задачи или чертежа. Иначе прямые могут находиться в разных плоскостях.

3. После этого проверяем, что прямые не пересекаются при продолжении в обе стороны. Если оба условия выполнены, их можно назвать параллельными. Если известно только о непересечении на рисунке, заключение делать рано.

Ответ: сразу заключить нельзя; необходимо проверить, что прямые a и b лежат в одной плоскости.

Задача 2

Прямые a и b перпендикулярны прямой c. Определите взаимное расположение a и b и запишите ответ с помощью символа.

1. Записываем данные: a ⟂ c и b ⟂ c. Знак ⟂ означает, что прямые пересекаются под прямым углом. Обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой.

2. Применяем признак: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой, если они лежат с ней в одной плоскости. Значит, a и b не пересекаются. В задаче подразумевается расположение прямых на одной плоскости.

3. Записываем полученный вывод знаком параллельности. Не ставим знак перпендикулярности между a и b: прямой угол образуется у каждой из них с прямой c. Между собой a и b параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3

Даны отрезки AB и CD, причём прямые AB и CD параллельны. Объясните, параллельны ли отрезки, и укажите, изменится ли ответ, если один из отрезков продолжить до луча.

1. Сначала смотрим на прямые, на которых лежат отрезки AB и CD. По условию эти прямые параллельны, а именно так проверяют параллельность отрезков. Длины и положения концов отрезков на вывод не влияют.

2. Следовательно, AB и CD — параллельные отрезки. Они могут не иметь общих точек и могут быть разной длины. Здесь важно не подменять проверку по содержащим прямым простым наблюдением, что отрезки не пересекаются.

3. Если продолжить один отрезок в одну сторону до луча, луч будет лежать на той же прямой. Эта прямая параллельна прямой, содержащей второй отрезок. Поэтому луч и отрезок тоже называют параллельными; направление луча на это не влияет.

Ответ: отрезки параллельны; при продолжении одного из них до луча параллельность сохраняется.

Типичные ошибки

Ошибка — считать параллельными любые прямые, которые не пересекаются на рисунке. Так думают, потому что чертёж кажется точным и показывает линии рядом, но он может быть выполнен не в масштабе. Проверь, что прямые лежат в одной плоскости, и не ограничивайся видимым участком: прямую мысленно продолжают в обе стороны.

Иногда забывают про условие одной плоскости и называют параллельными любые непересекающиеся прямые. Причина — в пространстве трудно представить взаимное положение линий по плоскому изображению. Самопроверка простая: в определении должны присутствовать оба условия — общая плоскость и отсутствие пересечения. Если первое не установлено, вывод о параллельности не обоснован.

Параллельные прямые путают с перпендикулярными, потому что оба слова описывают взаимное расположение линий. Но перпендикулярные прямые пересекаются и образуют прямой угол, а параллельные не пересекаются. Проверь, отмечена ли общая точка и есть ли прямой угол: это поможет выбрать правильное название.

Отрезки иногда считают параллельными только потому, что они не пересекаются. Так можно ошибиться: короткие отрезки не показывают, пересеклись бы их содержащие прямые при продолжении. Проверь прямые, на которых лежат отрезки, и установи, параллельны ли именно они. Длины отрезков и расстояние между ними этого не заменяют.

Связь с другими темами

Для работы с параллельностью нужно знать, чем прямая отличается от луча и отрезка, и уметь обозначать геометрические объекты. Также пригодится умение распознавать прямой угол и определение перпендикулярных прямых: оно позволяет использовать признак параллельности. Позже параллельные прямые встретятся в задачах об углах и фигурах, образованных прямыми. Понятие понадобится и при геометрических построениях.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых a и b записывают так: a ∥ b.
• Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
• Параллельность отрезков проверяют по прямым, на которых они лежат.
• Перпендикулярные прямые пересекаются, а параллельные — нет.