2.2. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Их параллельность обозначают знаком ∥: например, a ∥ b. Это обозначение удобно, когда нужно коротко записать условие задачи или указать расположение прямых на чертеже.

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. Для проверки мысленно или с помощью линейки продолжают прямые, на которых находятся отрезки. Длины отрезков могут быть разными: определение описывает направление и расположение, а не размер.

Расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, проведённого от точки одной прямой до другой. Перпендикуляр — отрезок, который пересекает прямую под прямым углом. Это определение позволяет измерить промежуток между прямыми одним числом, причём оно не зависит от того, какую точку выбрали.

Как это устроено

На чертеже виден только небольшой участок каждой прямой, а сама прямая продолжается в обе стороны без конца. Поэтому прямые могут не пересекаться на листе, но пересечься за его краем, если их направления немного различаются. Для вывода о параллельности нужны условия задачи или построение, а не только зрительное впечатление.

На чертеже параллельность можно распознать по заданному условию, специальным отметкам или аккуратно выполненному построению. Если линии обозначены буквами a и b и условие говорит, что они параллельны, записывают a ∥ b. По внешнему виду рисунка без отметок нельзя надёжно определить даже то, что кажется очевидным: изображение может быть неточным.

Чтобы провести через заданную точку прямую, параллельную данной, используют линейку и угольник. Одну сторону угольника совмещают с исходной прямой, а линейку прижимают к другой стороне и удерживают неподвижно. Затем угольник скользит вдоль линейки, не поворачиваясь, до нужной точки; сторона угольника сохраняет прежнее направление, поэтому проведённая по ней линия будет параллельна исходной.

Перпендикуляр от точки до прямой короче любого наклонного отрезка, который соединяет эту точку с прямой. Поэтому, если требуется измерить расстояние, берут именно перпендикуляр, а не произвольный отрезок. У параллельных прямых расстояние одинаково в любом месте: перпендикуляры между ними имеют равную длину.

Прямые и отрезки — не одно и то же: прямая бесконечна, а отрезок ограничен двумя концами. Отрезки на параллельных прямых называют параллельными, хотя сами отрезки могут лежать далеко друг от друга и иметь неодинаковую длину. Чтобы проверить такое расположение, смотрят на прямые, содержащие отрезки, а не только на то, пересекаются ли сами отрезки.

Прямые и отрезки: параллельность и расстояние

Сначала найди в таблице нужный объект, затем посмотри, как его определить или обозначить. Последний столбец помогает не перепутать параллельность с равенством отрезков и не выбрать неверный способ измерения расстояния.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке прямые a и b не пересекаются в пределах листа. Можно ли только по этому наблюдению утверждать, что a ∥ b?

1. Вспоминаем, что прямые продолжаются в обе стороны бесконечно, а рисунок показывает только их части.
2. Проверяем, есть ли в условии отметка о параллельности или результат точного построения. Одного наблюдения, что линии не встретились на листе, недостаточно: их продолжения могут пересечься.

Ответ: нет, только по видимому участку утверждать a ∥ b нельзя.

Задача 2. Постройте через точку вне прямой a прямую, параллельную a, с помощью линейки и угольника.

1. Приложите сторону угольника к прямой a, а к другой стороне плотно приставьте линейку.
2. Удерживайте линейку и передвиньте угольник вдоль неё так, чтобы нужная сторона угольника прошла через заданную точку. Угольник не поворачивайте: тогда направление его стороны останется прежним.
3. Проведите через точку линию по стороне угольника. Она будет параллельна a, потому что при скольжении направление стороны не изменилось.

Ответ: через заданную точку проведена прямая, параллельная a.

Задача 3. Расстояние между параллельными прямыми a и b равно 4 см. На прямой a выбрали две точки и опустили из них перпендикуляры на b. Чему равны длины перпендикуляров?

1. Вспоминаем определение: расстояние между параллельными прямыми измеряют длиной перпендикуляра между ними.
2. По условию это расстояние равно 4 см. Выбранные точки разные, но перпендикуляры между одними и теми же параллельными прямыми имеют одинаковую длину.

Ответ: длина каждого перпендикуляра равна 4 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать прямые параллельными лишь потому, что они не встретились на рисунке. Так думают, потому что видимая часть чертежа кажется всей прямой, хотя продолжение может пересечься за краем листа. Проверь, есть ли в условии нужное утверждение или отметки, а не делай вывод только на глаз.

Ошибка — называть параллельными любые два отрезка, которые не пересекаются. Отрезки могут не соприкасаться, но прямые, на которых они лежат, способны пересечься при продолжении. Для проверки продли линии отрезков или используй данное условие и проверь их направления.

Ошибка — считать, что параллельные отрезки обязательно равны. Параллельность говорит о расположении, а длина — о размере, поэтому эти свойства не связаны. Сверь определение: отрезки параллельны, если лежат на параллельных прямых; равенство длины проверяют отдельно.

Ошибка — измерять расстояние между параллельными прямыми наклонным отрезком. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, поэтому он не показывает кратчайшее расстояние. Проверь, образует ли измеряемый отрезок прямой угол с обеими параллельными прямыми.

Связь с другими темами

Для изучения параллельных прямых нужно знать, что такое прямая, отрезок, перпендикуляр и прямой угол. Прямая не имеет концов, отрезок ограничен, а перпендикуляр пересекает прямую под углом 90°. Эти понятия помогают отличать объекты и правильно измерять расстояние.

Параллельность понадобится при изучении геометрических фигур, координатной плоскости и чертежей. Например, у фигур можно сравнивать направления сторон, а на координатной плоскости — положение линий. Навык построения параллельной прямой пригодится и в других геометрических задачах.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются.
• Запись a ∥ b означает, что прямые a и b параллельны.
• Проверять непересечение нужно для прямых целиком, а не только для видимой части чертежа.
• Параллельные отрезки лежат на параллельных прямых, но могут иметь разную длину.
• Расстояние между параллельными прямыми измеряют по перпендикуляру.
• Перпендикуляры, проведённые между двумя параллельными прямыми, имеют одинаковую длину.