2.1. Пересекающиеся прямые

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — это прямые, имеющие одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения. Она служит вершиной углов, которые возникают при пересечении, поэтому сначала удобно отметить именно её.

Смежные углы — это два угла с общей стороной, у которых две другие стороны являются противоположными лучами. Противоположные лучи выходят из одной точки и направлены в разные стороны по одной прямой. Это определение помогает узнать смежные углы не только по их расположению рядом, но и по устройству сторон.

Вертикальные углы — это углы, стороны одного из которых являются продолжениями сторон другого. Иными словами, их стороны попарно лежат на одних прямых, но направлены в противоположные стороны. Такое определение позволяет отличить вертикальную пару от соседней пары углов.

Развёрнутый угол образован двумя противоположными лучами, а его величина равна 180°. Поэтому его стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Это понятие нужно, чтобы объяснить, почему смежные углы в сумме дают 180°.

Как это устроено

Две пересекающиеся прямые проходят через общую точку и каждая делит плоскость на две стороны. Из-за этого вокруг точки получаются четыре угла, расположенные по кругу. У каждого угла есть два соседних и один противоположный угол. Соседние пары находятся рядом, а противоположные разделены вершиной и лежат напротив друг друга.

У любой пары соседних углов одна сторона общая, а две оставшиеся стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Значит, эти внешние стороны — противоположные лучи, которые образуют развёрнутый угол. Он равен 180°, поэтому и два угла вместе составляют 180°. Например, если один из них равен 68°, другой равен 180° − 68° = 112°.

Чтобы определить вертикальные углы, найди пару углов, которая лежит напротив друг друга. Стороны одного угла продолжают стороны другого: если пройти от вершины по одной стороне, её продолжение станет стороной угла напротив. У такой пары нет общей стороны, в отличие от смежных углов. При пересечении прямых образуются две пары вертикальных углов.

Вертикальные углы равны, потому что каждый из них смежен с одним и тем же соседним углом. Например, пусть углы A и B вертикальные, а угол C смежен с обоими. Тогда A + C = 180° и B + C = 180°. Если вычесть из обеих сумм одну и ту же величину C, останется A = B.

Если известен один угол, противоположный ему сразу имеет такую же величину. Каждый из двух соседних можно найти вычитанием известного угла из 180°. Например, при известном угле 124° соседние равны 180° − 124° = 56°. Так находятся все четыре угла: известный и его вертикальный равны, а два остальных тоже равны между собой.

Пары углов при пересечении прямых

Сначала посмотри на расположение углов: общая сторона указывает на смежную пару, а положение напротив — на вертикальную. Затем выбери нужное свойство: для смежных используй сумму 180°, для вертикальных — равенство. Сумма четырёх углов вокруг точки служит дополнительной проверкой.

Разбор задач

Задача 1. Два смежных угла равны 68° и x°. Найдите x. Сначала определим свойство пары: углы смежные, значит, вместе они образуют развёрнутый угол. Поэтому их величина в сумме равна 180°.

1. Запишем равенство: 68° + x° = 180°.
2. Вычтем 68° из 180°: x = 180° − 68° = 112°.
3. Проверим: 68° + 112° = 180°.

Ответ: x = 112°.

Задача 2. При пересечении двух прямых один из углов равен 124°. Найдите остальные три угла. Сначала найдём угол напротив: он вертикальный, значит, равен 124°. Затем вычислим соседние углы, используя сумму смежной пары 180°.

1. Вертикальный угол равен 124°.
2. Каждый соседний угол равен 180° − 124° = 56°.
3. Два соседних угла равны между собой, так как каждый вычислен одним и тем же способом.

Ответ: остальные углы равны 124°, 56° и 56°.

Задача 3. Смежные углы равны (3x + 12)° и (5x + 8)°. Найдите x и величины всех четырёх углов. Так как углы смежные, их выражения должны в сумме дать 180°. После решения уравнения найдём сами углы, а затем применим свойство вертикальных углов.

1. Составим уравнение: (3x + 12) + (5x + 8) = 180.
2. Сложим подобные слагаемые: 8x + 20 = 180, откуда 8x = 160 и x = 20.
3. Подставим x: первый угол равен 3 · 20 + 12 = 72°, второй — 5 · 20 + 8 = 108°.
4. Вертикальные к ним углы тоже равны соответственно 72° и 108°.

Ответ: x = 20; четыре угла равны 72°, 108°, 72° и 108°.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вертикальными соседние углы. Их путают из-за того, что обе пары образуются при пересечении прямых, но вертикальные лежат напротив, а смежные имеют общую сторону. Проверь положение пары: если углы стоят рядом, они не вертикальные. Для вертикальной пары стороны одного угла должны продолжать стороны другого.

Неверно считать, что смежные углы равны, а вертикальные дают в сумме 180°. Обычно это происходит из-за смешения двух свойств. У смежных сумма равна 180°, у вертикальных величины одинаковы. Проверь себя по расположению углов и подставь найденные величины в соответствующее правило.

Не всякая пара углов при пересечении прямых в сумме даёт 180°. Это верно только для смежных углов, а у вертикальных сумма может быть другой. Ошибку помогает обнаружить проверка расположения: лежат ли углы рядом и образуют ли их внешние стороны прямую. Если углы напротив, используй равенство, а не сумму 180°.

Ещё одна ошибка — считать, что для смежных углов достаточно просто стоять рядом на чертеже. Их внешние стороны обязательно должны быть противоположными лучами, то есть лежать на одной прямой и смотреть в разные стороны. Проверяй именно это условие, а не только близость углов. Если внешние стороны не образуют прямую, пара не является смежной.

Связь с другими темами

Для работы с пересекающимися прямыми понадобятся понятия угла, его вершины и сторон, луча и противоположных лучей. Также нужно уметь читать градусную меру угла и выполнять вычитание величин углов. Эти знания помогают распознавать нужную пару и правильно записывать её свойства.

Равенство вертикальных углов и сумма смежных углов помогают находить неизвестные величины в геометрических задачах. Если углы заданы выражениями, их свойства позволяют составить уравнение и решить его. Поэтому важно не только запомнить правило, но и определить, какие именно углы даны.

Эти знания понадобятся при изучении параллельных прямых и углов, которые образует секущая — прямая, пересекающая две другие. Чтобы разбирать такие задачи, нужно уверенно различать углы по их расположению и использовать известные свойства. Пересечение прямых даёт основу для этого.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются противоположными лучами.
• Сумма смежных углов равна 180°.
• Вертикальные углы расположены напротив друг друга.
• Вертикальные углы равны.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.