18.1. Пересекающиеся прямые

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — две прямые, имеющие одну общую точку. Они не расходятся в разные стороны и не совпадают, а встречаются в одном месте. Это понятие помогает описать, как расположены прямые на плоскости.

Точка пересечения — общая точка двух пересекающихся прямых. Её часто обозначают заглавной буквой, например O. Она становится общей вершиной углов, которые образуются при пересечении прямых.

Вертикальные углы — углы, стороны которых являются продолжениями сторон друг друга. Они расположены напротив, а не рядом. Это название нужно, чтобы узнавать пару углов, величины которых равны.

Смежные углы — два угла с общей вершиной и общей стороной, у которых две другие стороны образуют прямую. Они расположены рядом и вместе составляют развернутый угол. По этому определению можно понять, почему их градусные меры складываются до 180°.

Как это устроено

В точке пересечения каждая прямая проходит насквозь и делится на два противоположных луча. У двух прямых получаются четыре луча с общей вершиной: по два от каждой прямой. Лучи соседних прямых ограничивают углы, а вокруг общей вершины последовательно располагаются четыре таких угла.

Чтобы найти вертикальные углы, посмотри на углы напротив друг друга. Угол между одним лучом первой прямой и одним лучом второй имеет напротив угол между противоположными лучами этих же прямых. Поэтому стороны одного угла продолжают стороны другого. Смежные углы, наоборот, стоят по соседству: у них есть один общий луч, а стороны, которые не общие, направлены в противоположные стороны по одной прямой.

Вертикальные углы равны, потому что каждый из них вместе с одним и тем же соседним углом составляет развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, поэтому от 180° нужно вычесть величину соседнего угла. Например, если соседний угол равен 70°, то каждый из двух вертикальных ему углов равен 180° − 70° = 110°. Получаются одинаковые величины.

Сумма смежных углов равна 180°, потому что их внешние, то есть не общие, стороны образуют прямую. Два угла вместе занимают одну половину полного оборота вокруг вершины — развернутый угол. Значит, если один из смежных углов известен, второй можно найти вычитанием его величины из 180°.

Если известна величина одного угла, противоположный ему угол равен ему как вертикальный. Два оставшихся угла смежны с известным, поэтому каждый равен 180° минус его величина. Например, при угле 48° получаем противоположный угол 48°, а два соседних — по 132°. Так находят все четыре угла, не измеряя каждый отдельно.

Вертикальные и смежные углы при пересечении прямых

Сначала определи, стоят углы напротив или рядом, и проверь их стороны: так ты выберешь нужный столбец. Если углы вертикальные, используй равенство, а если смежные — сумму 180°. При четырёх углах каждый угол имеет одного вертикального и двух смежных соседей.

Разбор задач

Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Назовите пару вертикальных углов и пару смежных углов.

Точка O — общая вершина всех четырёх углов. Лучи OA и OB лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, так же как лучи OC и OD. Стороны вертикальных углов продолжают друг друга, а у смежных углов есть одна общая сторона.

1. Угол AOC образован лучами OA и OC. Напротив него расположен угол BOD, образованный противоположными лучами OB и OD, поэтому это вертикальные углы.
2. Угол AOC и угол COB имеют общую сторону OC. Их другие стороны OA и OB образуют прямую AB, поэтому эти углы смежные.

Ответ: вертикальные углы AOC и BOD; смежные углы AOC и COB. Можно назвать и другие подходящие пары, если проверить расположение и стороны углов. Одного совпадения вершины для определения пары недостаточно.

Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причём угол AOC равен 48°. Найдите величины остальных трёх углов.

Сначала отметим, что угол BOD расположен напротив угла AOC. Два других угла — BOC и DOA — соседние с AOC. Поэтому понадобятся оба правила: равенство вертикальных углов и сумма смежных углов 180°.

1. Углы AOC и BOD вертикальные, значит, ∠BOD = 48°.
2. Угол BOC смежный с AOC, поэтому ∠BOC = 180° − 48° = 132°.
3. Углы DOA и AOC тоже смежные, поэтому ∠DOA = 180° − 48° = 132°.

Ответ: ∠BOD = 48°, ∠BOC = 132°, ∠DOA = 132°. Проверка: противоположные углы равны, а соседние углы 48° и 132° в сумме дают 180°. Значит, найденные значения согласуются с обоими правилами.

При пересечении двух прямых два смежных угла относятся как 2:3. Найдите величины всех четырёх углов.

Смежные углы в сумме дают 180°, а отношение 2:3 означает, что они состоят из двух и трёх одинаковых частей. Всего частей пять. Чтобы найти величину одной части, разделим 180° на 5.

1. Одна часть равна 180° : 5 = 36°. Тогда два угла равны 2 · 36° = 72° и 3 · 36° = 108°.
2. Каждому из этих углов напротив соответствует равный ему вертикальный угол. Значит, ещё два угла равны соответственно 72° и 108°.
3. Запишем все значения: 72°, 108°, 72° и 108°. Соседние углы имеют разные величины, а противоположные — одинаковые.

Ответ: 72°, 108°, 72° и 108°. Проверка: 72° + 108° = 180°, а две пары противоположных углов равны. Оба условия выполняются.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать вертикальными любые углы, которые выглядят расположенными напротив. Для вертикальности стороны одного угла должны продолжать стороны другого, но это условие легко не заметить на чертеже. Проверь, образуют ли противоположные стороны прямые; если нет, углы не вертикальные.

• Ошибка — путать вертикальные и смежные углы, ведь у тех и других одна вершина. Их различает наличие общей стороны: у смежных она есть, а у вертикальных углы стоят напротив. Перед вычислением назови лучи, образующие углы, и сравни их расположение.

• Ошибка — утверждать, что сумма вертикальных углов равна 180°. Это правило относится к смежным углам, а вертикальные равны друг другу; их сумма зависит от величины каждого. Проверь, есть ли у пары общая сторона и образуют ли две другие стороны прямую.

• Ошибка — находить смежный угол сложением: 180° плюс данный угол. Смежные углы вместе уже составляют 180°, поэтому известный угол нужно вычесть из этой суммы. Проверь ответ сложением: два смежных угла должны дать ровно 180°.

Связь с другими темами

Для работы с пересекающимися прямыми нужно знать, что такое прямая, луч и вершина угла, а также уметь определять градусную меру угла. Правила о смежных углах пригодятся при изучении перпендикулярных прямых, где угол между ними равен 90°. Равенство вертикальных углов и сумма смежных помогают находить неизвестные углы в треугольниках и других многоугольниках.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• При пересечении двух прямых образуются четыре угла.
• Вертикальные углы равны.
• Смежные углы в сумме дают 180°.
• При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов.
• Если известен один угол, остальные можно найти с помощью равенства вертикальных и суммы смежных углов.