18.2. Параллельные прямые

Определения и обозначения

Параллельные прямые — прямые на одной плоскости, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Представь две прямые дорожные линии, которые всё время идут рядом и не сходятся. Это определение помогает отличать параллельные прямые от тех, что только кажутся непересекающимися на маленьком рисунке.

Параллельность обозначают так: a ∥ b. Эту запись читают: «прямая a параллельна прямой b». Знак ∥ показывает не равенство прямых, а их особое расположение. По такой записи сразу понятно, что прямые не встретятся при продолжении.

Параллельные отрезки — отрезки, лежащие на параллельных прямых. Их прямые могут не иметь общей точки, поэтому сами отрезки тоже могут не соприкасаться. Это понятие нужно, чтобы описывать направление отрезков отдельно от их длины и положения на чертеже.

Как это устроено

Почему прямые, которые не пересекаются на плоскости, называют параллельными? Прямая не имеет конца и продолжается в обе стороны без ограничений. Поэтому мы проверяем не только то, что видно сейчас, но и то, куда линии идут дальше. Если направления прямых не сходятся, они не встретятся и останутся параллельными.

На чертеже прямые обычно изображают короткими кусочками, хотя в геометрии они бесконечны. Поэтому две нарисованные линии могут пока не пересекаться, но при продолжении встретиться. Чтобы отличить такой случай от параллельности, проследи направление каждой прямой за края рисунка. Если линии сходятся, перед тобой пересекающиеся прямые.

У отрезка есть концы, а у прямой концов нет. Из-за этого два отрезка могут не соприкасаться, хотя прямые, на которых они лежат, пересекаются за пределами отрезков. Для проверки мысленно продолжи стороны отрезков или воспользуйся линейкой как продолжением их направления. Если получившиеся прямые параллельны, параллельны и отрезки.

В предметах вокруг нас можно сравнивать направления прямых частей: например, длинные края одной полки или линии на листе. На рисунке сравнивай, куда направлены линии, а не насколько далеко друг от друга они находятся. Параллельные линии сохраняют одно направление и не сближаются до пересечения. Если рисунок не даёт уверенности, продолжи линии и проверь, встретятся ли они.

Провести через точку M прямую, параллельную данной прямой a, можно линейкой и угольником. Приложи одну сторону угольника к прямой a, а линейку плотно прижми к другой его стороне. Удерживая линейку, передвигай угольник вдоль неё: его положение не должно меняться, иначе изменится направление будущей прямой. Когда нужная сторона угольника пройдёт через M, проведи по ней линию.

Как различать параллельные и пересекающиеся прямые

Сначала проверь, есть ли у прямых общие точки, а затем подумай, что произойдёт при их продолжении. Таблица помогает сравнить главные признаки и не спутать свойства прямых с видом короткого чертежа. В строке с примером можно представить две ровные линии: параллельные не встретятся, а пересекающиеся сойдутся в одной точке.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены прямые a и b. Укажи, параллельны ли они, если при продолжении прямые пересекаются. Здесь нужно опираться на поведение целых прямых, а не на видимый участок. Само условие уже сообщает, что линии встретятся.

1. Представим прямые продолженными в обе стороны.
2. Проверим, есть ли у них общая точка.
3. По условию прямые пересекаются, значит, общая точка есть.

Параллельными могут быть только прямые без общих точек. Поэтому, если продолженные a и b пересекаются, знак параллельности для них использовать нельзя. Ответ: прямые a и b не параллельны.

Задача 2

Отрезки AB и CD лежат на прямых, которые не пересекаются. Как расположены эти отрезки? В условии речь идёт именно о прямых, на которых лежат отрезки. Следовательно, проверять направление самих отрезков отдельно не нужно.

1. Определим, какие прямые содержат отрезки AB и CD.
2. По условию эти прямые не пересекаются.
3. Значит, они параллельны, а лежащие на них отрезки тоже параллельны.

Длина AB и длина CD могут быть разными, ведь условие о параллельности длину не задаёт. Отрезки также не обязаны касаться друг друга. Ответ: отрезки AB и CD параллельны.

Задача 3

Построй через точку M, не лежащую на прямой a, прямую, параллельную a, используя линейку и угольник. Нужно перенести направление прямой a к точке M, не поворачивая угольник. Так сохраняется положение его стороны, по которой будет проведена новая прямая.

1. Приложи угольник одной стороной к прямой a.
2. Прижми линейку к другой стороне угольника и удерживай её на месте.
3. Передвигай угольник вдоль линейки, сохраняя его положение, пока сторона не пройдёт через M.
4. Проведи по этой стороне прямую через M.

Сторона угольника при перемещении остаётся параллельной исходному положению, а значит, и прямой a. Поэтому проведённая через M прямая параллельна a. Ответ: через M построена прямая, параллельная a.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые прямые, которые не пересекаются на небольшом рисунке. Так думают, потому что видят только нарисованные части, а не бесконечные прямые. Продли линии мысленно или на чертеже: если они встретятся, параллельными они не являются.

Ошибка: считать отрезки параллельными лишь потому, что они не соприкасаются. Можно забыть, что прямые, содержащие эти отрезки, способны пересечься за их концами. Проверь именно прямые-носители — то есть прямые, на которых лежат отрезки: продолжи их и посмотри, встретятся ли они.

Ошибка: путать параллельные прямые с совпадающими. На рисунке их легко принять за одно и то же, если линии наложились. Но у параллельных прямых нет общих точек, а у совпадающих общими являются все точки. Проверь, изображены ли две разные линии или одна и та же прямая.

Ошибка: записывать параллельность как a = b. Знак равенства означает, что речь идёт об одинаковых объектах, а не о расположении прямых. Для параллельности используй знак ∥ и запись a ∥ b. Перед ответом сверь знак с тем, какое свойство требуется указать.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в параллельных прямых, нужно различать прямую и отрезок. Прямая продолжается в обе стороны, а отрезок ограничен двумя концами, поэтому по коротким отрезкам нельзя всегда судить о прямых. Также пригодится умение читать чертёж и сравнивать направления линий.

Параллельность нужна при геометрических построениях: с её помощью проводят линии заданного направления. Она помогает изучать свойства фигур, например прямоугольника и параллелограмма, где некоторые стороны параллельны. Понимание этого свойства позволяет точнее описывать форму и расположение частей фигуры.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат на одной плоскости и не пересекаются.
• Параллельность прямых записывают знаком ∥.
• Если прямые пересекаются при продолжении, они не параллельны.
• Параллельными могут быть отрезки, лежащие на параллельных прямых.
• На чертеже нужно отличать реальные свойства прямых от того, как выглядят их короткие изображения.