§ 19. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Плоскость — ровная поверхность, которая продолжается бесконечно во все стороны. На рисунке её показывают параллелограммом, но его края не означают настоящую границу плоскости. Плоскость часто обозначают греческой буквой, например α. Представление о плоскости нужно, чтобы описывать расположение фигур не только на листе, но и в пространстве.

Прямая лежит в плоскости, если все её точки принадлежат этой плоскости. Иначе говоря, прямая целиком находится на поверхности, а не только касается её в одном месте. Это различие помогает не путать прямую, лежащую в плоскости, с прямой, которая лишь пересекает плоскость.

Параллельные прямые в пространстве не пересекаются и лежат в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые тоже не пересекаются, но не лежат в одной плоскости. Эти определения нужны потому, что одного отсутствия общей точки недостаточно, чтобы назвать прямые параллельными.

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек. Две плоскости параллельны, если они не пересекаются. Проверка общих точек позволяет различить параллельность, пересечение и принадлежность прямой плоскости.

Как это устроено

Пространство вокруг нас можно описывать с помощью точек, прямых и плоскостей. Например, точка задаёт место, прямая помогает представить тонкий край, а плоскость — ровную поверхность. Но плоскость бесконечна, поэтому на чертеже невозможно показать её целиком: параллелограмм служит лишь условным изображением части. Это нужно учитывать, когда сравниваешь объекты с границами рисунка.

У двух прямых в пространстве возможны три случая. Если у них есть общая точка, они пересекаются; если они не встречаются и лежат в одной плоскости, они параллельны. Наконец, прямые могут не пересекаться и при этом не помещаться в одну плоскость — тогда они скрещиваются. Поэтому, проверяя прямые, нужно выяснить не только, встречаются ли они, но и можно ли провести через обе одну плоскость.

Расположение прямой и плоскости определяется их общими точками. Если все точки прямой принадлежат плоскости, прямая лежит в ней; если общей является ровно одна точка, прямая пересекает плоскость. Когда общих точек нет, прямая параллельна плоскости. Эти варианты исчерпывают случаи: прямая не может частично лежать в плоскости, а частично выходить из неё.

Для двух плоскостей тоже важно число общих точек. Если плоскости имеют общие точки и не совпадают, через них проходит одна общая прямая: вся эта линия принадлежит обеим плоскостям. Если общих точек нет, плоскости параллельны. А если все точки одной плоскости принадлежат другой, это не две разные пересекающиеся плоскости, а одна и та же плоскость.

На модели куба удобно рассматривать рёбра как части прямых, а грани — как части плоскостей. Рёбра с общей вершиной показывают пересечение, а противоположные рёбра одной грани — параллельность: они лежат в одной плоскости и не встречаются. Некоторые рёбра не имеют общей вершины, но относятся к разным граням и не лежат на одной плоскости. Поэтому они скрещиваются, хотя на рисунке могут казаться параллельными.

Возможное взаимное расположение объектов в пространстве

Сначала найди в таблице нужную пару объектов, а затем сравни их расположение и общие точки. Для двух прямых отсутствие общих точек ещё не даёт ответа: нужно отличить параллельные прямые от скрещивающихся. Для плоскостей помни, что пересечение разных плоскостей — целая прямая.

Разбор задач

Задача 1. На модели куба назови пару пересекающихся рёбер и укажи их общую точку. Обозначим нижнюю грань куба ABCD, а верхнюю — EFGH, причём вершины E, F, G, H находятся соответственно над A, B, C, D. Нужно найти два ребра с общей вершиной: тогда они пересекаются именно в ней.

1. Возьмём рёбра AB и AD нижней грани.
2. Оба ребра выходят из вершины A, значит, точка A принадлежит каждой из прямых, содержащих эти рёбра.
3. Их общая точка — A; рёбра не совпадают и образуют угол в грани ABCD.

Ответ: AB и AD пересекаются в точке A. Другой верный выбор — любые два различных ребра куба с общей вершиной.

Задача 2. На модели куба определи, параллельны ли два противоположных ребра одной грани. Рассмотрим рёбра AB и CD грани ABCD. Одного впечатления, что они направлены одинаково, мало: по определению нужно проверить, лежат ли они в одной плоскости и имеют ли общие точки.

1. Рёбра AB и CD принадлежат одной грани ABCD, а значит, лежат в одной плоскости.
2. У них нет общей вершины, и они не пересекаются.
3. Следовательно, прямые, содержащие эти рёбра, не пересекаются и лежат в одной плоскости.

Ответ: противоположные рёбра одной грани параллельны. Проверка общей плоскости отличает их от скрещивающихся рёбер куба.

Задача 3. Сравни ребро, не принадлежащее выбранной грани, с плоскостью этой грани. Возьмём грань ABCD и ребро EF, где E расположена над A, а F — над B. Нужно установить, лежит ли EF в плоскости грани, пересекает её или не имеет с ней общих точек.

1. Ребро EF находится на верхней грани, а не на грани ABCD, поэтому в плоскости ABCD оно не лежит.
2. Прямые, содержащие EF и AB, параллельны: эти рёбра расположены на параллельных верхней и нижней гранях.
3. Поскольку EF параллельно прямой AB, лежащей в плоскости ABCD, ребро EF не пересекает эту плоскость.

Ответ: EF параллельно плоскости грани ABCD. Сравнивать нужно с целой бесконечной плоскостью грани, а не только с видимым четырёхугольником.

Типичные ошибки

Ошибка — называть параллельными любые непересекающиеся прямые. Так думают, потому что на листе обычно рассматривают только прямые, расположенные в одной плоскости. В пространстве может оказаться, что общей плоскости у них нет, и тогда прямые скрещиваются. Для проверки выясни, лежат ли обе прямые в одной плоскости.

Ошибка — решать по одному виду рисунка, будто перспектива точно показывает расстояния и направления. На чертеже далёкие рёбра могут выглядеть близкими, а параллельные в пространстве линии — наклонными. Проверяй, какие вершины и грани соединяют рёбра, и применяй определения. Если данных рисунка недостаточно, не делай вывод только по внешнему сходству.

Ошибка — считать прямую параллельной плоскости, потому что она не пересекает нарисованную часть плоскости. Параллелограмм на чертеже показывает лишь кусочек бесконечной поверхности, поэтому линия может встретить её за его краем. Проверь положение относительно всей плоскости, например по грани куба и её рёбрам. Параллельность означает отсутствие общих точек с плоскостью целиком.

Ошибка — говорить, что две пересекающиеся плоскости имеют одну общую точку. Такое рассуждение переносит случай двух прямых на другой тип объектов. Если различные плоскости пересекаются, вместе с одной общей точкой они имеют и другие точки, образующие прямую. Проверь, не получается ли линия пересечения, а не отдельная точка.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия точки, прямой, отрезка, луча и плоскости. Также пригодится умение распознавать пересекающиеся и параллельные прямые на плоскости. Эти знания помогают переходить от знакомых плоских фигур к расположению объектов в пространстве.

Правила пригодятся при изучении геометрических тел, например куба и параллелепипеда. Грани таких тел рассматривают как части плоскостей, а рёбра — как части прямых. Так можно точно описывать, какие рёбра пересекаются, параллельны или скрещиваются.

Представления о прямых и плоскостях понадобятся и в стереометрии — разделе геометрии о пространственных фигурах. С их помощью читают пространственные чертежи и обосновывают геометрические утверждения. Это помогает отличать то, что только кажется верным на рисунке, от того, что следует из определений.

Что запомнить

• Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Параллельные прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Прямая и плоскость могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку или иметь общие точки по всей прямой.
• Две непересекающиеся плоскости параллельны.
• Если две различные плоскости пересекаются, их пересечение — прямая.