19.1. Прямые в пространстве

Определения и обозначения

Прямая в пространстве — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны. В пространстве она может находиться не в одной плоскости с другой прямой. Это понятие нужно, чтобы описывать расположение линий не только на плоском листе, но и в объёмных фигурах.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. В этой точке одна прямая встречается с другой. Такое определение помогает отличить настоящее пересечение от простого сближения линий на рисунке.

Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Их можно представить как линии на листе, которые идут рядом и никогда не встречаются. Условие об одной плоскости обязательно: оно отличает параллельные прямые от скрещивающихся.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Они направлены по-разному и находятся в разных частях пространства. Это понятие нужно, чтобы назвать третий вариант расположения прямых, которого не бывает на плоскости.

Как это устроено

На плоскости две прямые могут пересечься или не пересечься. Если они не пересекаются, то на плоскости они параллельны: обе уже лежат в этой плоскости. В пространстве прямые могут находиться ещё и в разных плоскостях, поэтому появляется третий случай — скрещивание.

Одного наблюдения «прямые не встретились» недостаточно для вывода о параллельности. Нужно понять, можно ли расположить обе прямые в одной плоскости: если можно, а общей точки нет, прямые параллельны. Если общей плоскости нет, они скрещиваются. Так мы учитываем не только видимое расстояние между линиями, но и их положение в пространстве.

Куб помогает увидеть все варианты, потому что его рёбра направлены по трём измерениям: вдоль, поперёк и вверх. Два соседних ребра одной грани встречаются в общей вершине, значит, соответствующие прямые пересекаются. Противоположные рёбра одной грани не встречаются и лежат в её плоскости, поэтому они параллельны. А некоторые рёбра на разных гранях не встречаются и не лежат в общей плоскости: они скрещиваются.

Чтобы определить расположение прямых по рисунку или модели, сначала проверь, есть ли у них общая точка. Если она есть, прямые пересекаются. Если точки нет, выясни, лежат ли обе прямые в одной плоскости: при ответе «да» это параллельные прямые, а при ответе «нет» — скрещивающиеся.

Скрещивающиеся прямые невозможно провести на одной плоскости без пересечения, потому что общей плоскости для них нет. Если попытаться перенести их обе на один лист, придётся изменить их положение в пространстве. Тогда линии либо встретятся, либо будут идти параллельно. Значит, плоский рисунок не всегда точно передаёт взаимное расположение прямых, и полезно представить объёмную модель.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйся таблицей в два шага: сначала проверь наличие общей точки, затем — общей плоскости. Общая точка сразу указывает на пересечение, а при её отсутствии именно проверка плоскости различает параллельные и скрещивающиеся прямые. Примеры на кубе помогают представить каждый случай.

Разбор задач

Задача 1. Назови взаимное расположение прямых, содержащих два соседних ребра одной грани куба. Соседними называют рёбра, которые имеют общую вершину. Нужно определить, как расположены не сами короткие рёбра, а прямые, которые продолжают их в обе стороны.

1. Найди вершину, в которой сходятся соседние рёбра.
2. Прямые, содержащие эти рёбра, проходят через эту общую точку.
3. Значит, прямые пересекаются.

Ответ: пересекающиеся прямые.

Задача 2. Назови взаимное расположение прямых, содержащих противоположные рёбра одной грани куба. Эти рёбра находятся на одной плоской грани, но не имеют общей вершины. Проверим оба условия для параллельности.

1. Оба ребра лежат на одной грани, поэтому содержащие их прямые находятся в одной плоскости.
2. Противоположные рёбра не соприкасаются, а их продолжения идут в одном направлении и не встречаются.
3. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Ответ: параллельные прямые.

Задача 3. Назови взаимное расположение прямых, содержащих два ребра куба, которые не имеют общей вершины и не лежат на одной грани. Само отсутствие общей вершины ещё не даёт ответа: нужно проверить, пересекутся ли продолжения рёбер и найдётся ли для прямых общая плоскость. Рассуждаем по этим двум условиям.

1. Рёбра не имеют общей вершины; их содержащие прямые не встречаются.
2. Прямые не лежат на одной грани, а по расположению рёбер куба нельзя провести одну плоскость, содержащую обе прямые.
3. Нет общей точки и нет общей плоскости — это признаки скрещивающихся прямых.

Ответ: скрещивающиеся прямые.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые прямые без общей точки. Так рассуждают по привычке, ведь на плоскости это верно. В пространстве прямые могут не встретиться, но находиться в разных плоскостях. Проверь себя: если общей плоскости нет, прямые скрещиваются.

Ошибка: называть прямые скрещивающимися только потому, что на рисунке они не пересекаются. Плоское изображение объёмного тела может скрывать, как расположены линии. Чтобы проверить вывод, представь модель или проследи, принадлежат ли обе прямые одной плоскости. Без этой проверки нельзя уверенно отличить скрещивание от параллельности.

Ошибка: путать отсутствие общей точки с параллельностью. Так происходит, если помнить только часть определения. Параллельные прямые должны ещё и лежать в одной плоскости. Проверь оба условия: нет общей точки и есть общая плоскость.

Ошибка: считать, что любые два ребра куба лежат в одной грани. Рёбра принадлежат разным граням, и некоторые из них не помещаются в одну плоскость вместе. Для проверки назови грань, которой принадлежат оба ребра. Если общей грани нет, исследуй положение прямых внимательнее: они могут оказаться скрещивающимися.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно уметь узнавать прямые и плоскости на рисунках и моделях. Это помогает не путать линии, которые только кажутся пересекающимися или параллельными на плоском изображении. Рассматривай, где именно находятся прямые в объёмном теле.

Понятие параллельных прямых опирается на знакомое расположение прямых на плоскости: они не пересекаются и лежат в одной плоскости. В пространстве к этому условию добавляется необходимость проверить саму плоскость. Так прежнее знание помогает понять новое.

Различение параллельных и скрещивающихся прямых пригодится при изучении геометрических тел и их рёбер. Оно помогает точнее описывать, какие рёбра идут в одном направлении, а какие находятся в разных плоскостях. Куб — простая модель для такой проверки.

Что запомнить

• В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Не всякие непересекающиеся прямые параллельны.
• Рёбра куба помогают моделировать разные случаи расположения прямых.