19.2. Прямые и плоскости в пространстве

Определения и обозначения

Прямая в пространстве — бесконечная линия; её обозначают одной строчной латинской буквой или двумя точками, например прямая AB. Она не заканчивается у края рисунка: изображённый отрезок показывает только часть прямой. Понятие прямой помогает задавать направления и описывать рёбра фигур.

Плоскость — бесконечная ровная поверхность; её обозначают греческими буквами α, β или тремя точками, не лежащими на одной прямой. Лист бумаги и грань куба напоминают плоскость, но в геометрии она продолжается без края. Чтобы задать плоскость, трёх точек на одной прямой достаточно, а точки на одной прямой — нет.

Взаимное расположение двух прямых — это то, как они находятся друг относительно друга: они могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пересекающиеся прямые встречаются, а параллельные не встречаются и лежат в одной плоскости. Скрещивающиеся прямые тоже не встречаются, но общей плоскости у них нет.

Взаимное расположение прямой и плоскости бывает трёх видов: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна ей. В первом случае плоскости принадлежат все точки прямой, в двух других — ни одна или только одна. Это различие позволяет точно описывать положение ребра относительно грани.

Как это устроено

Через любые две различные точки проходит одна прямая: если натянуть нить между двумя точками, направление линии будет определено однозначно. Провести через те же точки другую прямую невозможно, потому что она должна была бы отклониться от первой, а значит, не пройти через обе точки. Три точки задают плоскость, если они не лежат на одной прямой: две из них определяют прямую, а третья указывает, как повернуть плоскость вокруг неё. Если все три точки лежат на одной прямой, вокруг неё можно провести множество плоскостей.

Чтобы понять, лежит ли прямая в плоскости, достаточно проверить две её точки. Если обе точки принадлежат плоскости, то проведённая через них единственная прямая тоже принадлежит ей целиком. Это следует из того, что через эти две точки нельзя провести другую прямую. Если же в плоскости есть только одна точка прямой, то прямую нельзя считать лежащей в ней.

На плоскости любые две непараллельные прямые пересекаются, но в пространстве появляется третий вариант — скрещивание. У пересекающихся прямых есть общая точка, и через них можно провести одну плоскость. Параллельные также лежат в общей плоскости, только не встречаются. Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки и не помещаются в одну плоскость, поэтому называть их параллельными нельзя.

Прямая может целиком лежать в плоскости, пересечь её или не иметь с ней общих точек. Если прямая пересекает плоскость, у неё с плоскостью ровно одна общая точка: будь таких точек две, по ним прошла бы прямая, целиком принадлежащая плоскости. Поэтому прямая не может «войти» в плоскость в одной точке, а затем выйти из неё в другой, не лежа в ней полностью.

Грани куба помогают увидеть отношения между плоскостями. У соседних граней есть общее ребро, поэтому их плоскости пересекаются по прямой, содержащей это ребро. Противоположные грани не соприкасаются и параллельны. То же рассуждение применяют к сечениям: сечение — фигура, полученная при пересечении тела плоскостью, а его стороны показывают линии пересечения плоскости с гранями тела.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

В таблице сравниваются основные случаи и их признаки. В примерах с кубом названия рёбер и граней показывают, где искать общие точки и плоскости. Сначала определи, какие объекты сравниваются, а затем проверь признак в третьем столбце.

Разбор задач

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение рёбер AB и CD, AB и AA₁, AB и CC₁. Сначала найдём, где находятся рёбра и какие из них имеют общие вершины. Затем проверим, лежит ли каждая пара в одной грани.

1. Рёбра AB и CD — противоположные рёбра нижней грани ABCD. Они лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, параллельны.
2. Рёбра AB и AA₁ имеют общую вершину A. Они выходят из одной вершины, поэтому пересекаются.
3. Рёбра AB и CC₁ не имеют общей точки и не параллельны: первое идёт по нижней грани, второе — вертикально. Они не лежат в одной плоскости, значит, скрещиваются.

Ответ: AB и CD параллельны; AB и AA₁ пересекаются; AB и CC₁ скрещиваются.

Для куба определите взаимное расположение прямой AB и плоскости BCC₁B₁. Эта плоскость проходит через грань куба, противоположную грани, содержащей ребро AB. Нужно проверить, есть ли у прямой общие точки с этой гранью, а не только сравнить её с одним ребром грани.

1. Точка B принадлежит плоскости BCC₁B₁, а значит, лежит и на прямой AB.
2. Точка A в этой плоскости не лежит: она находится в другой грани куба. Поэтому вся прямая AB не содержится в плоскости.
3. У прямой и плоскости есть общая точка B, но нет второй общей точки. Следовательно, прямая AB пересекает плоскость BCC₁B₁ в точке B.

Ответ: прямая AB пересекает плоскость BCC₁B₁ в точке B.

Назовите все рёбра куба, параллельные AB, и все рёбра, скрещивающиеся с ним. У куба есть три направления рёбер, поэтому удобно сначала перечислить рёбра по направлениям, а затем исключить те, которые пересекают AB или параллельны ему.

1. В направлении AB идут рёбра AB, DC, A₁B₁ и D₁C₁. Все, кроме самого AB, параллельны ему.
2. Среди остальных рёбер AD, BC, A₁D₁ и B₁C₁ пересекают AB в вершине A или B. Рёбра AA₁ и BB₁ тоже пересекают AB, соответственно в A и B.
3. Оставшиеся рёбра CC₁ и DD₁ не пересекают AB и не параллельны ему. Они не лежат с ним в одной плоскости, поэтому скрещиваются с AB.

Ответ: параллельны AB рёбра DC, A₁B₁ и D₁C₁; скрещиваются с AB рёбра CC₁ и DD₁.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так делают, перенося на пространство правило, которое не учитывает расположение прямых в разных плоскостях. Проверь себя: параллельные прямые должны не только не встречаться, но и лежать в одной плоскости; если общей плоскости нет, прямые скрещиваются.

Ошибка: назвать скрещивающимися непересекающиеся прямые, которые лежат в одной грани куба. Их можно принять за скрещивающиеся, если смотреть только на то, что они не встречаются. Установи, в одной ли плоскости они лежат: противоположные рёбра одной грани параллельны, а не скрещиваются.

Ошибка: спутать пересечение прямой с плоскостью и пересечение с отдельной линией в этой плоскости. Если прямая не встретилась с одним ребром грани, это ещё не значит, что она не пересекает саму плоскость. Проверяй все точки прямой, принадлежащие плоскости, а не только её общие точки с выбранным ребром.

Ошибка: считать противоположные грани куба пересекающимися, потому что они относятся к одному телу. У таких граней нет общих точек, поэтому их плоскости параллельны. Для проверки найди предполагаемое общее место: если ни одна точка одной грани не принадлежит другой, пересечения нет.

Связь с другими темами

Для этой темы пригодятся понятия точки, прямой, отрезка, луча и плоской фигуры, а также умение определять взаимное расположение прямых на плоскости. Эти знания помогают отличать линию от плоскости и проверять, есть ли у объектов общие точки. Дальше пространственные отношения понадобятся при изучении многогранников и их сечений. Они также пригодятся при разборе расстояний и объёмов фигур.

Что запомнить

• Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Прямая и плоскость могут иметь одну общую точку, не иметь общих точек или прямая может лежать в плоскости.
• Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.