19.3. Плоскости в пространстве

Определения и обозначения

Плоскость — ровная поверхность, не имеющая границ и простирающаяся во всех направлениях. Можно представить, что она продолжается бесконечно, даже если на рисунке показан лишь небольшой её участок. Это понятие нужно, чтобы описывать поверхности и расположение геометрических фигур не только на листе, но и в пространстве.

Пространство — совокупность всех точек, в которой расположены геометрические фигуры и тела. Например, коробка находится в пространстве, а её грани можно рассматривать как части плоскостей. Понятие пространства помогает говорить о фигурах, которые не помещаются на плоском листе.

Пересекающиеся плоскости — две плоскости, имеющие общую прямую. Общая прямая состоит из точек, принадлежащих сразу обеим плоскостям. Это определение помогает точно описать встречу поверхностей, а не ограничиваться словами о том, что они «сходятся».

Параллельные плоскости — две плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Например, противоположные грани прямоугольного параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях. Такое определение позволяет отличить их от плоскостей, у которых есть общая линия.

Как это устроено

Плоскость простирается без конца, поэтому целиком нарисовать её на странице невозможно. Для чертежа выбирают небольшую часть и часто изображают её параллелограммом, похожим на наклонённую площадку. Края этой фигуры — не граница плоскости, а условные линии рисунка, которые помогают глазу увидеть её направление. Поэтому нельзя заключать, что настоящая плоскость заканчивается там, где заканчивается изображённый параллелограмм.

Плоскость обозначают заглавной буквой греческого алфавита, например α, или называют по трём точкам: плоскость ABC. Для второго способа точки A, B и C должны не лежать на одной прямой. Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость, а если все три точки лежат на одной прямой, плоскостей через них можно провести несколько. Условие о трёх точках помогает задать именно одну плоскость, а не целое множество вариантов.

Две различные плоскости в пространстве могут располагаться по-разному: не иметь общих точек или пересекаться. Если общей точки нет, плоскости называют параллельными; если общие точки есть, они образуют прямую. Нельзя считать, что поверхности «каснулись» только в одной точке: у двух плоскостей такая общая точка продолжает общую линию. Так проявляется разница между плоскостью и, например, двумя кривыми поверхностями, которые могут касаться точечно.

Чтобы определить положение плоскостей на рисунке, сначала ищут общую линию. Если она обозначена или её можно проследить как край, принадлежащий обеим плоскостям, плоскости пересекаются. Если общих точек нет, плоскости параллельны, но просто нарисованные рядом части поверхности ещё не доказывают этого. Нужно учитывать, что чертёж условный и изображает лишь части плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, потому что общая часть двух различных плоскостей продолжается в обоих направлениях. Каждая точка этой линии одновременно принадлежит обеим плоскостям, иначе она не была бы общей. Поэтому линия пересечения целиком лежит в каждой из них. В знакомом предмете её моделью может служить край, по которому встречаются две ровные поверхности.

Взаимное расположение двух плоскостей

Сравнивайте плоскости по наличию общих точек и по тому, из чего состоит их общая часть. В таблице «нет» означает отсутствие общих точек, а общая прямая показывает, что плоскости пересекаются. На рисунке проверяйте именно общую часть, а не только то, как поверхности расположены рядом.

Разбор задач

Назвать плоскость по трём точкам

Условие. На плоскости отмечены точки A, B и C. Требуется назвать изображённую плоскость через эти точки. Считаем, что по условию чертежа точки не лежат на одной прямой, поэтому они задают единственную плоскость.

1. Проверяем расположение точек: A, B и C не должны находиться на одной прямой.
2. Поскольку условие выполнено, через эти три точки проходит одна плоскость.
3. Обозначаем её буквами точек: плоскость ABC. Порядок букв в таком названии можно изменить, так как речь идёт о тех же трёх точках.

Ответ. Плоскость ABC. Если бы все три точки лежали на одной прямой, такое обозначение не определяло бы единственную плоскость.

Две грани раскрытой книги

Условие. Две грани раскрытой книги рассматривают как части плоскостей. Нужно определить взаимное положение этих плоскостей. Найдём, есть ли у них общая линия.

1. Замечаем, что грани встречаются вдоль корешка книги.
2. Считаем корешок моделью прямой, принадлежащей обеим плоскостям.
3. Делаем вывод: у плоскостей есть общая прямая, значит, они пересекаются.

Ответ. Плоскости пересекаются по прямой, моделью которой служит корешок книги. Если книгу раскрыть шире или уже, угол между гранями изменится, но общая линия останется.

Плоскости прямоугольного параллелепипеда

Условие. Нужно определить, какие пары плоскостей граней прямоугольного параллелепипеда параллельны, а какие пересекаются. Обозначим вершины так: нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, причём AE, BF, CG и DH — боковые рёбра. Сравним грани по общей части, а не только по виду на рисунке.

1. У нижней ABCD и верхней EFGH нет общих точек, поэтому их плоскости параллельны.
2. У боковых граней ABFE и BCGF есть общее ребро BF. Значит, эти плоскости пересекаются.
3. Так же рассуждаем для других пар: две соседние грани имеют общее ребро и пересекаются, а две противоположные грани не имеют общих точек и параллельны.

Ответ. Плоскости противоположных граней параллельны, а плоскости соседних граней пересекаются по общему ребру. На рисунке сначала полезно назвать грани, а затем проверить для каждой пары наличие общего ребра или отсутствие общих точек.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллелограмм границей плоскости. Так можно решить, что плоскость заканчивается по его сторонам, потому что чертёж похож на отдельную фигуру. Но параллелограмм показывает только часть бесконечной поверхности. Проверьте себя: если убрать условные края рисунка, плоскость всё равно продолжается за них.

Ошибка: объявлять плоскости параллельными, потому что они нарисованы рядом. Это происходит, когда судят только по внешнему виду чертежа и не ищут общих точек. Близость на бумаге ничего не говорит о взаимном положении плоскостей. Проверьте, есть ли у них общая прямая или, наоборот, общих точек нет.

Ошибка: считать, что пересекающиеся плоскости имеют только одну общую точку. Такое представление может возникнуть, если принять место встречи на рисунке за единственное касание. Но у двух различных плоскостей общая часть — прямая, проходящая через общие точки. Проверьте себя: общую линию можно продолжить в обе стороны.

Ошибка: обозначать плоскость тремя точками на одной прямой. Три такие точки лежат на общей прямой, а через неё можно провести много плоскостей. Ошибка возникает, если забыть условие, что точки не должны быть расположены на одной линии. Перед обозначением проверьте: можно ли провести одну прямую через все три точки; если да, выберите другую точку вне неё.

Связь с другими темами

Для изучения плоскостей нужны точка, прямая, отрезок и понимание, что значит принадлежность точки прямой. Ещё важно уметь читать чертёж: изображённая фигура может показывать лишь часть объекта. Позже понятие плоскости поможет изучать многогранники, их грани и рёбра, а также взаимное расположение фигур в пространстве.

В окружающем мире модели плоскостей можно увидеть в стенах, полу и потолке. Место, где встречаются две стены, напоминает линию пересечения плоскостей. Реальные поверхности не всегда идеально ровные, но такие примеры помогают представить геометрические понятия.

Что запомнить

• Плоскость не имеет границ и простирается во всех направлениях.
• Плоскость обозначают заглавной греческой буквой или тремя точками, не лежащими на одной прямой.
• Пересекающиеся плоскости имеют общей прямую.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Три точки, не лежащие на одной прямой, задают единственную плоскость.
• Рисунок плоскости в виде параллелограмма является условным.