19.4. Задания по теме "Плоскости и прямые в пространстве"

Определения и обозначения

Плоскость — бесконечная ровная поверхность, которая продолжается во все стороны. На рисунке её изображают частью параллелограмма, потому что показать бесконечную поверхность целиком нельзя. Плоскость обозначают греческой буквой, например α, или тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такое обозначение помогает отличать плоскость от прямой и точки.

Прямая в пространстве — бесконечная линия без начала и конца. На чертеже показывают только её часть, иногда продолжая линию за границы изображённой фигуры. Прямую обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, через которые она проходит: AB. Это позволяет точно назвать нужную линию, даже если на чертеже их несколько.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие одну общую точку. На рисунке их пересечение распознают по точке, которая принадлежит обеим прямым; часто это обозначенная вершина фигуры. Само по себе наложение линий на плоской картинке ещё не доказывает, что они пересекаются в пространстве. Нужно проверить, действительно ли у прямых есть общая точка.

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Параллельность обозначают знаком ∥: например, a ∥ b. Требование об одной плоскости важно: в пространстве прямые без общей точки могут быть расположены иначе, чем параллельные. Обозначение помогает зафиксировать, что речь идёт именно о параллельных прямых.

Как это устроено

Точка показывает точное место, прямая — направление и бесконечный путь, а плоскость — ровную поверхность, на которой могут находиться точки и прямые. На чертеже точку отмечают маленькой точкой и обычно подписывают заглавной буквой, прямую показывают линией, а плоскость — условной фигурой. Обозначения нужны потому, что рисунок ограничен листом и не может передать бесконечность объектов. Если точка лежит на прямой или прямая лежит в плоскости, это отношение принадлежности можно установить по условию или по обозначениям.

В пространстве две прямые могут иметь общую точку, не иметь её, а при отсутствии общей точки — быть параллельными или непараллельными. Пересекающиеся прямые вместе задают плоскость, в которой находятся обе. Параллельные прямые тоже лежат в одной плоскости, но не встречаются. Если же прямые не лежат в одной плоскости, они не пересекутся и параллельными не будут; поэтому нельзя переносить на объёмную фигуру правило «не пересекаются — значит параллельны».

Прямая и плоскость могут быть связаны тремя способами. Когда прямая лежит в плоскости, все её точки принадлежат этой поверхности; когда пересекает плоскость, они имеют только одну общую точку. Если прямая не лежит в плоскости и не пересекает её, общих точек нет. Чтобы различить случаи, проверь, есть ли у прямой общие точки с плоскостью и сколько их.

Для чтения чертежа фигуры сначала назови нужные прямые по их точкам или рёбрам, затем найди возможные общие вершины. Если общей вершины нет, проверь, находятся ли прямые в одной грани или другой общей плоскости: это помогает установить параллельность. Учитывай, что рёбра, принадлежащие разным граням, могут быть непараллельными и не пересекаться. Невидимые части фигуры часто проводят пунктиром, поэтому отсутствие сплошной линии не означает, что ребра нет.

Обосновать ответ можно через общую точку или принадлежность одной плоскости. Для пересечения назови точку, которая лежит на обеих прямых; для параллельности укажи, что они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Чтобы доказать, что прямая лежит в плоскости, нужно установить, что все её точки принадлежат плоскости, а не только одна вершина. Если данных чертежа недостаточно, опирайся на условие и обозначения, а не на впечатление от картинки.

Взаимное расположение прямых и плоскостей

Сначала выбери строку для нужных объектов, затем проверь признаки расположения. Для прямых особенно важно выяснить не только, есть ли общая точка, но и лежат ли они в одной плоскости. Для прямой и плоскости посчитай общие точки: их может быть одна, много или ни одной.

Разбор задач

Условие: на рисунке изображён прямоугольник ABCD. Назови пары пересекающихся и параллельных сторон. Решение: стороны прямоугольника — AB, BC, CD и DA. У каждой вершины сходятся две соседние стороны, а противоположные стороны идут вдоль разных пар параллельных линий.

1. Для пересекающихся пар ищем стороны с общей вершиной. В вершине A сходятся AB и AD, в B — AB и BC, в C — BC и CD, в D — CD и DA.
2. Для параллельных пар сравниваем противоположные стороны прямоугольника. Стороны AB и CD параллельны, как и BC и AD.
3. Проверяем, что каждая названная пересекающаяся пара имеет ровно одну общую вершину, а параллельные пары вершин не имеют.

Ответ: пересекаются AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и DA; параллельны AB и CD, BC и AD.

Условие: дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Определи, пересекаются ли прямые AB и CC₁, и объясни ответ. Решение: AB — нижнее ребро куба, а CC₁ — вертикальное ребро, которое соединяет вершины C и C₁. Сравним их концы и проверим, может ли одна из вершин лежать на обеих прямых.

1. У прямой AB отмечены точки A и B, у CC₁ — C и C₁. Среди этих точек общей вершины нет.
2. Прямые AB и CC₁ принадлежат разным граням, которые не образуют для этих рёбер одну общую плоскость. Поэтому они не пересекаются и не являются параллельными.
3. Не делаем вывод только по тому, что линии на рисунке не встретились: в пространстве этого недостаточно для признания прямых параллельными.

Ответ: прямые AB и CC₁ не пересекаются и не параллельны.

Условие: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотри прямую AB и плоскость DCC₁D₁. Укажи их взаимное расположение и обоснуй ответ. Решение: плоскость DCC₁D₁ — боковая грань куба, её вершины D, C, C₁ и D₁. Прямая AB — нижнее ребро противоположной грани ABCD.

1. Проверяем, лежит ли прямая AB в плоскости DCC₁D₁. Точки A и B не являются вершинами этой грани, поэтому ребро AB не лежит в ней.
2. Проверяем пересечение: плоскость DCC₁D₁ имеет общие с нижней гранью точки D и C, а AB проходит через A и B и не содержит ни D, ни C.
3. Значит, прямая AB не пересекает эту плоскость и не имеет с ней общих точек.

Ответ: прямая AB не имеет общих точек с плоскостью DCC₁D₁.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые две прямые без общей точки параллельными. Так думают, если смотрят только на плоский рисунок и забывают, что прямые могут не лежать в одной плоскости. Проверь себя: у параллельных прямых должна быть общая плоскость, а не только отсутствие пересечения.

Ошибка: принимать пересечение линий на рисунке за пересечение прямых в пространстве. Изображение объёмной фигуры плоское, поэтому части, расположенные на разной глубине, могут казаться встретившимися. Проверь, есть ли у прямых действительно общая точка или вершина, указанная в условии.

Ошибка: путать прямую, лежащую в плоскости, с прямой, которая пересекает её. Это происходит, когда учитывают одну общую точку и не проверяют остальные точки прямой. Проверь количество общих точек: при пересечении она одна, а если прямая лежит в плоскости, общих точек много.

Ошибка: делать вывод только по внешнему виду чертежа. Условное изображение может искажать направления, а невидимые линии иногда показаны пунктиром. Проверь обозначения точек, принадлежность рёбер граням и данные условия; если нужно, назови общую точку или общую плоскость.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь различать точку, прямую и плоскость, а также обозначать точки заглавными буквами. Эти знания помогают точно называть элементы и понимать, какие из них принадлежат друг другу. Если обозначения читаются верно, проще объяснить ответ по чертежу.

Представления о плоскостях и прямых пригодятся при изучении геометрических тел. Вершины, рёбра и грани куба или другой фигуры — примеры точек, отрезков и плоских частей поверхности. Умение устанавливать связи между ними помогает описывать устройство тела.

Навык чтения пространственных чертежей нужен и в задачах о взаимном расположении прямых и плоскостей. Он помогает отличать видимое пересечение от настоящего и замечать невидимые рёбра. Поэтому ответ строят не на догадке по картинке, а на проверке общих точек и принадлежности одной плоскости.

Что запомнить

• Через две пересекающиеся прямые проходит одна плоскость.
• Параллельные прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости.
• В пространстве непересекающиеся прямые не обязательно параллельны.
• Прямая и плоскость могут иметь одну общую точку, много общих точек или не иметь общих точек.
• На рисунке невидимые части фигур могут быть показаны пунктиром.
• Ответ о взаимном расположении объектов нужно подтверждать по чертежу или условию.