§ 20. Прямоугольная система координат на плоскости

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат на плоскости — это две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными направлениями. Перпендикулярные оси пересекаются под прямым углом. Такая система позволяет указать положение точки на плоскости с помощью двух чисел.

Координатные оси — это горизонтальная ось x и вертикальная ось y. Ось x называют осью абсцисс, а ось y — осью ординат; названия связаны с названиями координат точки. Положительные значения x направлены вправо, а положительные значения y — вверх.

Начало координат — точка пересечения осей, её обозначают буквой O. От этой точки отсчитывают расстояния в каждом направлении. Координаты начала координат — (0; 0), потому что смещение по обеим осям равно нулю.

Координаты точки — пара чисел (x; y), которая показывает её положение. Первое число называют абсциссой, а второе — ординатой. Порядок важен: сначала записывают положение по горизонтали, затем по вертикали.

Как это устроено

Чтобы построить систему координат, проведи горизонтальную и вертикальную прямые так, чтобы они пересеклись под прямым углом. Точку пересечения отметь как начало координат O, а на каждой оси укажи положительное направление: вправо для x и вверх для y. Затем выбери единичный отрезок — одинаковую меру для отсчёта расстояний на обеих осях. Он нужен, чтобы деления были понятными и числа на осях показывали, сколько таких отрезков составляет расстояние.

Положение точки задают двумя числами, потому что плоскость имеет два направления: горизонтальное и вертикальное. Первое число показывает, насколько точка смещена от начала координат вдоль оси x, а второе — насколько она смещена вдоль оси y. Одного числа недостаточно: на одном и том же расстоянии по горизонтали могут находиться точки на разной высоте. Вместе два числа указывают одно определённое место.

Чтобы отметить точку по координатам, например (3; 2), начни от O и сначала отложи первое число по оси x. Если число положительное, двигайся вправо, если отрицательное — влево. Затем из полученного места переместись параллельно оси y на величину второго числа: положительное значение ведёт вверх, отрицательное — вниз. Такой порядок помогает не перепутать, какое число отвечает за каждое направление.

Чтобы определить координаты уже отмеченной точки, мысленно проведи через неё две прямые: одну параллельно оси y, другую параллельно оси x. Места, где эти прямые пересекают оси, показывают значения координат. Сначала прочитай значение на оси x — это абсцисса, потом на оси y — ордината. Такой способ переносит положение точки на знакомые числовые деления.

Знак координаты зависит от направления, в котором точка расположена относительно начала. Вправо и вверх координаты положительные, влево и вниз — отрицательные. Если точка лежит на оси x, она не смещена по вертикали, поэтому её ордината равна нулю; если на оси y — нулю равна абсцисса. В начале координат обе координаты равны нулю.

Знаки координат в зависимости от расположения точки

Четверти — четыре области между осями; их номера отсчитывают от верхней правой области против часовой стрелки. Найди, в какой области или на какой оси лежит точка, и по строке таблицы проверь знаки её координат. Если точка на оси, не выбирай четверть: одна координата у неё равна нулю.

Разбор задач

Построим точку A(3; 2). В записи уже указан порядок: сначала абсцисса, затем ордината. Поэтому сначала нужно определить горизонтальное смещение, а после него — вертикальное.

1. Отметь начало координат O и найди на оси x число 3.
2. Так как абсцисса положительная, отсчитай от O три единицы вправо.
3. Из полученного места двигайся параллельно оси y на две единицы вверх, потому что ордината положительная.
4. Поставь точку A в конце этого пути и подпиши её координаты.

Ответ: точка A(3; 2) находится на три единицы правее и на две единицы выше начала координат. Оба числа положительные, поэтому точка расположена в первой четверти.

Теперь запишем координаты точки B, которая находится на 4 единицы левее начала координат и на 1 единицу ниже него. Слова «левее» и «ниже» сразу подсказывают направления, а значит, и знаки координат. Сначала определим абсциссу, затем ординату.

1. Смещение на 4 единицы влево означает отрицательную абсциссу: x = −4.
2. Смещение на 1 единицу вниз означает отрицательную ординату: y = −1.
3. Запиши значения в установленном порядке (x; y).

Ответ: B(−4; −1). Точка расположена в третьей четверти, так как обе её координаты отрицательные.

Даны точки C(−2; 3) и D(−2; −1). Чтобы понять, какая точка выше, сравнивают вертикальные координаты — ординаты. Абсциссы у точек одинаковые, поэтому обе нужно отложить на одной вертикали слева от оси y.

1. Для обеих точек отложи по оси x две единицы влево: x = −2.
2. Для C от этой вертикали отложи три единицы вверх, так как y = 3.
3. Для D отложи одну единицу вниз, так как y = −1.
4. Сравни ординаты: 3 больше, чем −1, поэтому C расположена выше D.

Ответ: выше расположена точка C. При построении сохраняй порядок координат: у каждой точки сначала используй −2 для горизонтального смещения, а затем её собственную ординату.

Типичные ошибки

Можно поменять координаты местами и прочитать пару как (y; x). Это происходит, когда забывают, что первое число относится к горизонтальному направлению, а второе — к вертикальному. Перед построением проверь запись: сначала укажи смещение по x, потом по y. Например, (3; 2) означает три единицы вправо и две вверх, а не наоборот.

Ещё одна ошибка — перепутать знаки на осях. Иногда отрицательное число считают направлением вниз независимо от координаты, хотя знак нужно связывать с конкретной осью. Проверь себя: для x минус означает движение влево, а для y минус — вниз. Положительное направление, соответственно, ведёт вправо по x и вверх по y.

Некоторые откладывают оба числа вдоль одной оси. Так получается, если воспринимать пару как одно расстояние, а не как два отдельных смещения. Раздели построение на два шага: сначала двигайся горизонтально на число x, затем вертикально на число y. После этого точка должна находиться одновременно на нужной вертикали и горизонтали.

У точки на оси иногда указывают две ненулевые координаты. Ошибка возникает, если не заметить, что точка не смещена от оси в одном из направлений. Для проверки вспомни: на оси x ордината равна нулю, а на оси y нулю равна абсцисса. У начала координат нулевые обе координаты.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью пригодятся умения пользоваться числовой прямой, сравнивать положительные и отрицательные числа и измерять отрезки. Числовая прямая помогает понять, как расположены числа по разные стороны от нуля, а измерение отрезков — отложить нужное расстояние. Поэтому сначала полезно уверенно читать значения и направления на одной прямой, а затем применять эти навыки сразу к двум осям.

Координатная плоскость позволяет строить отдельные точки и соединять их в геометрические фигуры. Её используют и при чтении схем, где положение объекта задаётся двумя числами. Позже тот же способ помогает понимать графики: по координатам можно определить, где расположены отмеченные значения и как они связаны.

Что запомнить

• Координатная ось x горизонтальна, ось y вертикальна.
• Оси пересекаются под прямым углом.
• Начало координат обозначают O; его координаты (0; 0).
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса — первая координата, ордината — вторая.
• Влево и вниз откладывают отрицательные значения, вправо и вверх — положительные.