11.2. Прямоугольная система координат на плоскости

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат — это две перпендикулярные координатные оси с общим началом отсчёта и выбранным единичным отрезком. Единичный отрезок задаёт, чему равна одна единица на каждой оси. Такая система превращает положение точки на плоскости в пару чисел.

Координатные оси — горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy; их общая точка O называется началом координат. На каждой оси отмечают положительное и отрицательное направления. Оси помогают отдельно отсчитывать перемещение вправо или влево и вверх или вниз.

Координаты точки — числа x и y, задающие её положение на плоскости; точку записывают в виде A(x; y). Первое число называют абсциссой, а второе — ординатой. Эта запись нужна, чтобы однозначно сообщить, где находится точка, не описывая её положение словами.

Координатная четверть — одна из четырёх частей плоскости, на которые её делят оси координат. Четверти считают против часовой стрелки, начиная с верхней правой части. Знаки координат помогают определить, в какой из них расположена точка.

Как это устроено

Чтобы построить систему координат, проведи две перпендикулярные прямые и обозначь их Ox и Oy. Точку пересечения отметь буквой O: от неё удобно вести отсчёт в обе стороны. Затем выбери единичный отрезок и отметь направления положительных значений — вправо на Ox и вверх на Oy; противоположные направления будут отрицательными. Без единичного отрезка нельзя понять, какому расстоянию соответствует число координаты.

Положение точки задают двумя числами, потому что на плоскости можно перемещаться в двух независимых направлениях. Первое число показывает, насколько далеко и в какую сторону нужно уйти по горизонтали, второе — по вертикали. Если известно только одно расстояние, точка может оказаться в разных местах: например, на одной вертикальной или горизонтальной линии. Пара координат убирает эту неопределённость.

Чтобы найти координаты точки на рисунке, мысленно опусти от неё перпендикуляры к обеим осям. По месту пересечения с Ox определи x, а по месту пересечения с Oy — y, считая единичные отрезки от O. Если проекция оказалась на отрицательной части оси, соответствующая координата будет отрицательной. Так находят не только расстояние, но и направление от начала координат.

Оси делят плоскость на четыре четверти, и в каждой сочетание знаков своё. В I четверти x и y положительны, во II x отрицателен, а y положителен; в III оба числа отрицательны, в IV x положителен, а y отрицателен. На самой оси одна координата равна нулю, потому что точка не удалена от этой оси в перпендикулярном направлении. Поэтому точки на осях не принадлежат четвертям.

Чтобы построить A(x; y), сначала отложи абсциссу x от O вдоль Ox. Через полученную точку проведи мысленно линию, параллельную Oy, и отложи по ней ординату y; её направление зависит от знака числа. Можно выполнить построение и в обратном порядке, но координаты всё равно записывают как x, затем y. Точка пересечения нужных направлений и будет A.

Расположение точки и знаки её координат

Найди строку с нужным расположением и проверь знаки координат. Для точки на оси нулевой знак ставят у координаты, соответствующей перпендикулярному удалению от этой оси. Если обе координаты нулевые, точка находится в начале координат.

Разбор задач

Задача 1. Укажите, в какой четверти находится точка A(3; 2). Нужно определить знаки координат, а не сравнивать их величины. Затем сопоставим полученное сочетание со знаками в четвертях.

1. Абсцисса точки равна 3, поэтому x положителен.
2. Ордината равна 2, поэтому y тоже положителен.
3. Пара положительных координат соответствует I четверти.

Ответ: точка A находится в I четверти. Проверка простая: от O нужно двигаться вправо и вверх, а эта область и есть первая четверть. Ни одна координата не равна нулю, значит, точка не лежит на оси.

Задача 2. Постройте точки B(−2; 4), C(3; −1) и D(0; −3) в прямоугольной системе координат. Сначала для каждой точки учитываем абсциссу, потом ординату. Особое внимание уделим нулевой координате точки D.

1. Для B от O отложите 2 единицы влево по Ox. От полученного места поднимитесь на 4 единицы параллельно Oy.
2. Для C отложите 3 единицы вправо по Ox. Затем опуститесь на 1 единицу параллельно Oy, так как ордината отрицательная.
3. У D абсцисса равна нулю, поэтому точка лежит на Oy. От O отсчитайте по этой оси 3 единицы вниз.

Ответ: B находится слева и выше начала координат, C — справа и ниже, D — на отрицательной полуоси Oy. При построении можно соединить отметки направлений под прямым углом: так легче не перепутать, где откладывать каждое число. Точка D не входит ни в одну четверть.

Задача 3. Точка M расположена на оси Ox, её абсцисса равна −4. Запишите координаты точки и объясните, где она находится. Поскольку точка лежит на Ox, её расстояние по вертикали от этой оси равно нулю. Отрицательная абсцисса указывает направление влево от O.

1. Запишите известную абсциссу: x = −4.
2. Для любой точки на оси Ox ордината равна нулю, значит, y = 0.
3. Объедините координаты в установленном порядке: M(−4; 0).

Ответ: M(−4; 0); точка находится на отрицательной полуоси Ox, на расстоянии 4 единиц от начала координат. Нулём здесь является ордината, а не абсцисса. Поэтому точка не относится к четверти.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами абсциссу и ординату и записать A(y; x). Такое случается, если считать, что порядок чисел не имеет значения. Проверка: первое число всегда относится к горизонтальной оси Ox, второе — к вертикальной Oy; перечитай запись именно в этом порядке.

Вторая ошибка — отложить отрицательную координату в положительном направлении. Ученик может заметить число 4 и забыть знак минус. Проверяй не только количество единиц, но и направление: отрицательное x ведёт влево, отрицательное y — вниз.

Третья ошибка — считать точку с одной нулевой координатой находящейся в четверти. Четверть иногда определяют только по знаку ненулевого числа и не замечают, что точка лежит на оси. Если x = 0 или y = 0, отметь точку на соответствующей оси: точки на осях к четвертям не относятся.

Четвёртая ошибка — отсчитывать оба числа от одной оси. Так можно получить точку, у которой нужные расстояния есть, но одно из них направлено не туда. Проверяй построение по шагам: x отложи вдоль Ox, а y — параллельно Oy; затем мысленно проведи через полученную точку линии к обеим осям.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны навыки, которые изучают на числовой прямой: понимание положительных и отрицательных чисел, направления отсчёта и единичного отрезка. На плоскости к одному числовому направлению добавляется второе, перпендикулярное ему. Поэтому можно перенести знакомые правила знаков на две оси.

Координатная плоскость пригодится при построении графиков и изучении зависимостей между величинами: точками можно изображать пары связанных значений. Она также помогает решать геометрические задачи, когда нужно задать положение точек и сравнить их расположение. Чем увереннее ты читаешь координаты, тем легче строить и проверять такие изображения.

Что запомнить

• Оси Ox и Oy перпендикулярны и пересекаются в начале координат O.
• Положение точки задаётся парой чисел A(x; y).
• Первой записывают абсциссу x, второй — ординату y.
• На оси Ox ордината равна нулю, на оси Oy абсцисса равна нулю.
• В начале координат обе координаты равны нулю.
• Знаки координат определяют, в какой четверти находится точка.