§ 12. Понятие преобразования фигуры

Определения и обозначения

Преобразование фигуры — правило, которое каждой точке фигуры ставит в соответствие точку плоскости. Иными словами, оно говорит, куда перейдёт каждая точка. Это определение нужно, чтобы рассматривать изменение фигуры не на глаз, а по точному правилу.

Образ точки — точка, полученная из исходной точки по заданному преобразованию. Если точка A переходит в A′, записывают A → A′. Образ показывает результат применения правила к одной точке, поэтому с него удобно начинать разбор преобразования.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Значит, для его получения нужно преобразовать каждую точку, а не только заметные вершины. Это понятие помогает точно описать, что получилось с целой фигурой.

Прообраз точки — исходная точка или точки, которые при преобразовании переходят в данную точку. Прообраз ищут в обратном направлении: выясняют, какие исходные точки могли дать заданный результат. Это нужно, чтобы отличать начало преобразования от его результата.

Как это устроено

Преобразование действует на точки: сначала для каждой точки фигуры находят соответствующую ей точку по заданному правилу. Причина в том, что фигура состоит из точек, а не превращается целиком каким-то отдельным действием. Например, если правило велит переместить каждую точку на 2 см вправо, его применяют и к вершинам, и ко всем точкам между ними. Так становится понятно, как меняется вся фигура.

Образ всей фигуры получают, объединяя образы всех её точек; поэтому преобразование задаёт соответствие не только между фигурами, но и между их точками. Если рассматривать лишь результат целиком, можно не понять, какая точка откуда получилась. Соответствие точек сохраняет эту информацию и помогает строить образ последовательно. Для отрезка достаточно сначала узнать, куда перешли его концы, а затем учесть все точки между ними.

Чтобы преобразование было однозначным, каждой исходной точке должна соответствовать ровно одна точка. Иначе для одной точки нельзя было бы определить единственный результат применения правила. При этом разные исходные точки могут иметь один и тот же образ: это не мешает однозначности, потому что правило всё равно даёт каждой исходной точке только один результат. Поэтому важно проверять именно число образов у каждой исходной точки.

Прообраз точки может быть единственным, их может быть несколько или не быть вовсе — это зависит от правила преобразования. Если правило позволяет двум разным точкам перейти в одну, у результата окажутся два прообраза. Если ни одна точка не переходит в выбранную точку, у неё нет прообраза. Значит, при поиске прообраза нельзя автоматически предполагать, что найдётся ровно одна точка.

Преобразование можно задать словами, чертежом или правилом, позволяющим определить образ каждой точки. Словесное описание объясняет действие, а формула может сразу дать координаты результата. Чертёж помогает увидеть соответствие, но его нужно читать по обозначениям и условным линиям. Во всех случаях правило должно позволять определить образ любой исходной точки.

Понятия, связанные с преобразованием фигуры

Сначала определите, что дано: исходная точка или фигура, образ либо точка, прообраз которой нужно найти. Затем найдите в таблице нужную строку и выполните указанное действие. Так проще не перепутать, откуда начинается преобразование и что требуется получить.

Разбор задач

Задача 1

Преобразование переводит точку A в точку A′. Назовите образ точки A и прообраз точки A′. Здесь уже дано соответствие между исходной точкой и результатом. Нужно назвать его в прямом и обратном направлении.

1. Из записи A → A′ читаем, что точка A переходит в точку A′.
2. Значит, образ точки A — это A′.
3. Если смотреть на A′ как на результат, исходной точкой, которая в неё перешла, была A.

Ответ: образ точки A — A′, прообраз точки A′ — A.

Задача 2

Каждую точку плоскости перемещают на 2 см вправо. Найдите образы вершин треугольника ABC и опишите образ треугольника. Правило одно и то же для всех точек, поэтому его нужно отдельно применить к A, B и C. Образом будет не одна полученная вершина, а вся фигура из образов точек треугольника.

1. Перемещаем вершину A на 2 см вправо и обозначаем её образ A′.
2. Так же получаем образы B′ и C′, перемещая B и C на 2 см вправо.
3. Каждую точку сторон и внутренней области треугольника тоже перемещаем по тому же правилу.
4. Образом треугольника ABC будет треугольник A′B′C′, расположенный на 2 см правее исходного.

Ответ: вершины переходят соответственно в A′, B′ и C′; образ фигуры — треугольник A′B′C′.

Задача 3

Точка с координатами (x; y) переходит в точку (x; −y). Найдите образы A(2; 3), B(−1; −4) и образ отрезка AB. Правило сохраняет первую координату и меняет знак второй. После этого нужно связать найденные образы концов отрезка.

1. Для точки A(2; 3) оставляем x = 2, а y = 3 заменяем на −3. Получаем A′(2; −3).
2. Для точки B(−1; −4) оставляем x = −1, а −4 заменяем на 4. Получаем B′(−1; 4).
3. Применяем правило к каждой точке отрезка AB; его концы при этом переходят в A′ и B′.
4. Образом отрезка будет отрезок A′B′.

Ответ: A′(2; −3), B′(−1; 4); образ AB — отрезок A′B′.

Типичные ошибки

Иногда образом фигуры называют только образ одной её вершины. Так происходит, когда внимание сосредоточено на точках, которые проще отметить на чертеже. Но образ фигуры состоит из образов всех её точек. Проверьте себя: назван ли результат для всей фигуры, а не только для отдельной точки?

Образ и прообраз тоже легко поменять местами: образ получают из исходной точки, а прообраз ищут среди точек, которые переходят в заданную. Путаница возникает, если не следить за направлением соответствия. Запишите стрелку A → A′ и прочитайте её сначала слева направо, затем справа налево. Тогда видно, что A′ — образ A, а A — прообраз A′.

Ещё одна ошибка — считать, что разным исходным точкам обязательно соответствуют разные образы. Обычно так рассуждают по привычке: раз точки различны, кажется, что и результаты должны различаться. Но однозначность требует только одного образа для каждой исходной точки. Проверьте правило отдельно для каждой точки: если у каждой ровно один результат, совпадение результатов допустимо.

По одной точке нельзя определить преобразование целой фигуры, если правило не задано. У одной точки могут быть разные возможные образы при разных преобразованиях, поэтому догадка не даёт надёжного ответа. Нужно знать правило и применять его ко всем точкам фигуры. Для самопроверки спросите себя, описывает ли условие, как получить образ произвольной исходной точки.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в преобразованиях, нужно уметь различать точку, фигуру и её элементы, обозначать точки и работать с координатами на плоскости. Эти знания помогают читать правило и находить образы отдельных точек. Особенно полезны координаты, когда правило записано как изменение координат. Позже понятие преобразования пригодится при изучении симметрии, поворотов, параллельного переноса и подобных фигур.

Что запомнить

• Преобразование задаёт соответствие между точками.
• Каждой исходной точке соответствует ровно один образ.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Образ и прообраз — связанные, но разные понятия.
• У точки может быть несколько прообразов или не быть ни одного.
• Преобразование можно задавать правилом, словами или чертежом.