"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Преобразование фигуры — правило, которое каждой точке фигуры сопоставляет точку на плоскости. Так можно описать, как фигура перемещается или меняется, и построить её образ. Исходную фигуру обозначают буквой без штриха, например F, а полученную — со штрихом: F′. Правило применяют не только к вершинам, а ко всем точкам фигуры. При этом размеры и форма могут как сохраняться, так и изменяться.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование фигуры — правило, по которому каждой точке исходной фигуры ставится в соответствие определённая точка плоскости. Иначе говоря, правило указывает, куда переходит любая точка фигуры. Это определение нужно, чтобы описывать изменение или перемещение фигуры не на глаз, а с помощью точного соответствия.
Исходная фигура — фигура, которую преобразуют; её можно обозначить буквой F. Это начало преобразования, от которого отсчитывают все переходы. Такое обозначение помогает не перепутать фигуру до применения правила с результатом.
Образ фигуры — фигура, полученная после преобразования; её можно обозначить F′. Штрих показывает, что речь идёт о результате, а не об исходной фигуре. Это обозначение удобно, когда нужно сравнивать обе фигуры и описывать, что с ними произошло.
Соответствующие точки — точки исходной фигуры и её образа, связанные преобразованием: A соответствует A′. Буква со штрихом обозначает точку, в которую переходит исходная точка. Это понятие нужно, чтобы проследить правило для отдельных точек и затем восстановить образ всей фигуры.
Фигура состоит не только из вершин: между ними есть отрезки, а внутри многоугольника — множество других точек. Поэтому правило преобразования должно указывать точку для каждой точки исходной фигуры. Если описать переход лишь нескольких вершин, останется неизвестно, куда переходят остальные точки и как преобразуется фигура целиком. В задачах с многоугольником часто достаточно построить образы вершин, но это возможно потому, что заданное правило действует и на все остальные точки.
Когда для точек фигуры известны соответствующие им точки, можно определить образ всей фигуры: он состоит из всех полученных точек. Например, переходам вершин A, B и C соответствуют точки A′, B′ и C′; соединяя их в том же порядке, получают образ треугольника. Штрих в обозначении помогает сразу отличить результат от исходной фигуры и не спутать точки при записи. Поэтому пишут F → F′ для фигур и A → A′ для точек.
Стрелка в записи показывает направление: сначала указана исходная точка или фигура, затем её образ. Запись A → A′ сообщает, что преобразование переводит A в A′, но сама по себе не объясняет, каким именно способом это сделано. Чтобы построить точку, нужно знать правило преобразования. А запись F → F′ кратко описывает такой же переход для целой фигуры.
Одно преобразование должно действовать на каждую точку по одному правилу, иначе это будет не единое преобразование, а набор несвязанных перемещений. Например, если задано смещение на 3 клетки вправо и 1 вверх, именно такое смещение применяют к каждой точке. Тогда точки и части фигуры сохраняют согласованную связь друг с другом. Проверить это можно, сравнив перемещения нескольких точек: они должны отвечать одному правилу.
Разные преобразования по-разному влияют на свойства фигуры. При одних могут сохраняться расстояния и углы, а при других фигура меняет размеры или форму. Поэтому нельзя заранее утверждать, что образ обязательно равен исходной фигуре или похож на неё. Перенос, поворот, симметрию и другие специальные виды преобразований изучают отдельно, чтобы узнать, какие свойства сохраняет каждый из них.
| Элемент | Что означает | Обозначение |
|---|---|---|
| Преобразуемая фигура | Фигура, с которой начинают преобразование | F |
| Образ фигуры | Фигура, полученная после преобразования | F′ |
| Точка исходной фигуры | Точка, которую преобразуют | A |
| Соответствующая точка | Точка образа, полученная из исходной точки | A′ |
| Запись соответствия | Указывает, какая точка переходит в какую | A → A′ |
Сначала определите, какая фигура или точка дана до преобразования, а какая получена после него. Для результата используйте штрих: F′ или A′. Стрелка показывает, от исходного объекта к какому образу ведёт правило.
Условие. Для преобразования треугольника ABC указано соответствие A → A′, B → B′, C → C′. Назовите исходную фигуру и её образ и запишите соответствие фигур.
Ответ: исходная фигура — ABC, образ — A′B′C′; ABC → A′B′C′.
Условие. Каждую точку треугольника ABC перемещают на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Постройте образ треугольника и обозначьте его вершины.
Ответ: образ — треугольник A′B′C′, вершины которого находятся на 3 клетки правее и на 1 клетку выше соответствующих вершин ABC.
Условие. Даны две фигуры на координатной плоскости. Определите, может ли вторая быть образом первой при преобразовании, которое каждой точке прибавляет один и тот же вектор перемещения, и обоснуйте ответ по координатам вершин.
Ответ: вторая фигура может быть образом первой тогда и только тогда, когда у всех соответствующих вершин одинаковы изменения координат.
Путают исходную фигуру и образ. Тогда результат называют начальной фигурой, потому что не учитывают направление перехода. Проверяйте стрелку: объект до её направления — исходный, после преобразования — образ.
Преобразуют только вершины и считают, что этого достаточно для любого правила. Так делают, потому что у многоугольника вершины заметнее остальных точек. Помните: правило задано для всех точек; построения вершин хватает лишь для изображения многоугольника, когда правило применяется ко всей фигуре.
Обозначают образ теми же буквами без штрихов. Из-за этого непонятно, где исходные точки, а где полученные. Проверяйте каждую запись: у образа используйте штрих, например A′ и F′.
Считают, что при любом преобразовании сохраняются размеры, форма или расстояния. Такое ожидание возникает, если знакомы только с перемещениями, которые не меняют фигуру. Уточняйте, какое преобразование задано, и не приписывайте ему сохранение свойств без основания.
Перед изучением преобразований нужно знать, что такое точка, отрезок и фигура, а также уметь читать координаты и работать с клетчатой бумагой. Это помогает находить соответствующие точки и строить их образы по правилу. Понятие преобразования станет основой для изучения симметрии, поворота, переноса, подобия и построения образов геометрических фигур. Оно также помогает описывать взаимное расположение фигур и пригодится в координатной геометрии.
Чем исходная фигура отличается от её образа?
Исходная фигура — та, с которой начинают преобразование. Образ — фигура, полученная после применения правила ко всем точкам исходной фигуры. Например, если исходная фигура обозначена F, её образ можно обозначить F′.
Почему нужно преобразовывать все точки фигуры, а не только вершины?
Преобразование задаёт соответствие между точками, поэтому оно действует и на точки внутри сторон и других частей фигуры. Если изменить только вершины, но не определить, куда переходят остальные точки, правило для всей фигуры не задано. При построении многоугольника достаточно построить образы вершин, когда известно, что одно и то же правило применяется ко всем точкам.
Что означает запись A → A′?
Эта запись означает, что точка A при преобразовании переходит в точку A′. Буква со штрихом обозначает соответствующую точку образа. Стрелка показывает направление перехода.
Всегда ли при преобразовании сохраняются длины и углы?
Нет, это зависит от преобразования. Некоторые преобразования сохраняют расстояния и углы, а другие могут менять длины, форму или размеры фигуры. Поэтому нельзя считать сохранение этих свойств обязательным.
Как построить образ фигуры на клетчатой бумаге?
Сначала примени заданное правило к каждой вершине, считая клетки в нужном направлении. Например, при перемещении на 3 клетки вправо и 1 вверх так перемещают каждую вершину. Затем обозначь полученные точки штрихованными буквами и соедини их в том же порядке.
12.1. Что такое преобразование фигуры?
