"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Преобразование фигуры — это правило, по которому каждой её точке ставят в соответствие новую точку. Так можно переместить фигуру, повернуть её или отразить, а иногда — изменить её размер. Преобразования помогают описывать, как одна фигура связана с другой, и проверять, сохранились ли длины и форма. Главное — следить за тем, что происходит с каждой точкой, а не только сравнивать общий вид фигур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Преобразование фигуры — правило, по которому каждой точке исходной фигуры соответствует точка новой фигуры. Например, при переносе все точки сдвигаются одинаково, а при отражении переходят на другую сторону прямой. Это определение помогает рассматривать изменение фигуры точно: не только по её виду целиком, но и по движению отдельных точек.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при преобразовании; исходную точку называют прообразом. Если точка A переходит в точку A′, запись A → A′ показывает эту связь. Так обозначают соответствующие точки, чтобы сравнивать их положения и находить образ всей фигуры.
Сохраняющее расстояния преобразование оставляет неизменными расстояния между любыми двумя точками фигуры. Поэтому при таком преобразовании сохраняются длины отрезков и форма, хотя фигура может оказаться в другом месте или быть повёрнута. Это свойство нужно, чтобы отличать перемещение без изменения размера от преобразования, которое растягивает или уменьшает фигуру.
Ось симметрии — прямая, относительно которой точки фигуры отражаются так, что эта прямая проходит посередине между каждой точкой и её образом. Перпендикуляр от точки к оси и от её образа к оси имеет одинаковую длину. Это определение позволяет строить отражение и проверять, действительно ли прямая делит фигуру на зеркальные части.
При переносе каждая точка проходит одинаковый путь в одном направлении. Если соединить исходную точку с её образом, все такие отрезки будут параллельны, равны и направлены одинаково. Именно поэтому части фигуры не разъезжаются и расстояния между точками остаются прежними. Например, треугольник можно сдвинуть вправо и вверх: его стороны не изменятся, изменится только положение.
Поворот выполняется вокруг выбранной точки, которая называется центром поворота. Для каждой точки образ находится на том же расстоянии от центра, а направление меняется на один и тот же угол. Расстояния до центра сохраняются, поэтому фигура не растягивается. Если повернуть лист с нарисованным треугольником, его вершины переместятся, но длины сторон останутся прежними.
При осевой симметрии ось играет роль зеркала. Чтобы найти образ точки, проводят к оси перпендикуляр и откладывают за осью такое же расстояние, какое было до неё. Это правило обеспечивает равное удаление точки и образа от оси. Сама ось остаётся на месте, а фигура отражается по другую сторону от неё, как изображение в зеркале.
Центральная симметрия устроена так, что выбранный центр находится ровно посередине между каждой точкой и её образом. Значит, от точки до центра и от центра до образа нужно отложить равные отрезки в противоположных направлениях. Такое преобразование можно представить как поворот на 180° вокруг центра. Поэтому расстояния сохраняются, а фигура оказывается развёрнутой относительно центра.
Перенос, поворот, осевая и центральная симметрия сохраняют расстояния, но не обязательно оставляют фигуру в прежнем положении. Увеличение или уменьшение действует иначе: расстояния от выбранной точки или центра меняются в одинаковое число раз. Если все длины умножаются на одно и то же число, форма может сохраниться, но размер изменится. Сравнение длин помогает понять, произошло ли перемещение или изменение масштаба.
| Преобразование | Как меняется фигура | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Перенос | Все точки сдвигаются одинаково и в одном направлении | Расстояния и форма |
| Поворот | Точки поворачиваются вокруг центра на один угол | Расстояния и форма |
| Осевая симметрия | Фигура отражается относительно прямой | Расстояния и форма |
| Центральная симметрия | Точки переходят через центр на равное расстояние | Расстояния и форма |
| Увеличение или уменьшение | Размер фигуры меняется в одинаковое число раз | Форма, если масштаб меняется равномерно |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала проследи, как перемещаются отдельные точки: одинаково ли они сдвигаются, поворачиваются ли вокруг центра или отражаются. Затем сравни длины соответствующих отрезков. Если длины не изменились, преобразование сохраняет расстояния; если они изменились одинаково во много раз, это увеличение или уменьшение.
Задача. Треугольник ABC отражают относительно прямой l. Известно, что расстояние от точки A до прямой l равно 2 см, от B до l — 4 см, а от C до l — 3 см. Как построить образы вершин и что можно сказать о сторонах полученного треугольника? Разберём построение для каждой вершины по одному правилу. Для проверки важно не угадывать положение на глаз, а пользоваться перпендикулярами и равными расстояниями.
Из каждой вершины проведи перпендикуляр к прямой l. Точка, где он пересекает прямую, будет основанием перпендикуляра. Перпендикуляр выбираем потому, что при отражении точка и её образ расположены на одной прямой, образующей прямой угол с осью.
На продолжении каждого перпендикуляра за прямую l отметь образ вершины на таком же расстоянии от l. Поэтому A′ должна отстоять от l на 2 см, B′ — на 4 см, а C′ — на 3 см. Ось проходит посередине между каждой исходной точкой и её образом.
Соедини точки A′, B′ и C′ отрезками. Так получится образ треугольника ABC. При отражении меняется расположение фигуры относительно прямой, поэтому нельзя оставлять вершины по прежнюю сторону оси, если они не лежат на самой оси.
Сравни соответствующие стороны: AB и A′B′, BC и B′C′, CA и C′A′. Отражение сохраняет расстояния, значит, длины каждой пары равны. Получившийся треугольник имеет те же длины сторон и ту же форму, хотя его вершины находятся по другую сторону от прямой.
Ответ: образы вершин строят на перпендикулярах к l, откладывая за прямой те же расстояния, что были до неё. Стороны образованного треугольника равны соответствующим сторонам исходного треугольника.
При осевой симметрии иногда откладывают образ на равное расстояние, но не проводят перпендикуляр к оси. Тогда точка оказывается не там, где нужно: отрезок между точкой и образом должен пересекать ось под прямым углом. Проверь построение угольником или убедись, что ось делит этот отрезок пополам. Одинаковая длина отрезков сама по себе ещё не гарантирует правильное отражение.
Другая ошибка — считать, что после любого преобразования фигура обязательно сохраняет размер. Это верно для переноса, поворота и симметрий, но не для увеличения или уменьшения. Такую путаницу допускают, потому что в обоих случаях получается похожая фигура. Проверь длины соответствующих сторон: у движения они равны, а при равномерном изменении масштаба отличаются в одинаковое число раз.
При повороте могут забыть, что все точки поворачиваются вокруг одного центра и на один угол. Если переместить вершины произвольно, получится другая фигура, а не образ исходной. Для самопроверки измерь расстояния от каждой вершины и её образа до центра: в каждой паре они должны быть равны. Также проверь, что поворот от исходного направления к новому одинаков для всех точек.
Преобразования опираются на знания о точках, прямых, перпендикулярах, углах и отрезках: без них нельзя точно строить образы точек. Сравнение фигур связано с понятием равенства фигур: если преобразование сохраняет расстояния, полученная фигура равна исходной. Симметрия встречается в орнаментах, буквах и предметах вокруг нас, а изменение масштаба используют на планах и картах. Эти примеры помогают увидеть, что геометрические правила описывают не только чертежи, но и реальные изображения.
12.2. Какие преобразования фигур бывают?
