§ 13. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Иными словами, фигуру как будто сдвигают, не поворачивая и не растягивая. Это понятие нужно, чтобы описывать такой способ перемещения точек и фигур.

Вектор переноса — вектор, задающий направление и длину перемещения каждой точки. Вектор можно представить как направленный отрезок: его стрелка показывает направление, а длина — расстояние. По нему строят перенос, чтобы все точки сдвинулись одинаково.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Если точка A перешла в A′, то A′ — её образ, а вектор AA′ показывает перемещение. Это обозначение помогает различать точку до переноса и после него.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Например, образ треугольника получается из образов всех его точек, а не только вершин. Понятие нужно, чтобы говорить о результате переноса всей фигуры.

Как это устроено

Перенос задают одним вектором, поэтому для каждой точки A строят точку A′ так, чтобы вектор AA′ был равен вектору переноса. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, даже если начинаются в разных местах. Значит, у всех точек фигуры перемещение будет одним и тем же. Если это условие не выполнено, получится уже не параллельный перенос.

Когда вектор задан направлением и длиной, приложите его начало к точке, которую переносите. Затем проведите от этой точки отрезок нужной длины в указанном направлении и отметьте его конец. Так получается образ точки. Следите за стрелкой вектора: если отложить отрезок в обратную сторону, точка переместится по противоположному вектору.

У каждой точки фигуры есть свой образ, но длина и направление её перемещения общие. Поэтому все части фигуры сдвигаются согласованно и не меняют своего взаимного расположения. Расстояния между точками остаются прежними, а значит, сохраняются длины, углы, форма и размеры фигуры. Образ может оказаться в другом месте, но он будет равен исходной фигуре.

Отрезок при переносе переходит в равный ему отрезок, параллельный исходному, потому что оба его конца перемещаются одинаковыми векторами. Направление отрезка при таком сдвиге не меняется, а его длина сохраняется. Прямая переходит в параллельную ей прямую, если сдвиг направлен поперёк неё. Если вектор направлен вдоль прямой, то прямая переходит в себя.

Чтобы построить образ многоугольника, перенесите каждую его вершину одним и тем же вектором. Затем соедините полученные точки в том порядке, в каком были соединены исходные вершины. Между соседними вершинами многоугольника лежат отрезки, которые тоже переходят в соответствующие отрезки. Поэтому построенная граница будет образом всего многоугольника, а не только набором новых точек.

Что сохраняется при параллельном переносе

В таблице удобно проверять, что изменится у фигуры, а что останется прежним после переноса. Сначала найдите нужный объект или свойство в левом столбце, затем прочитайте результат справа. Например, положение точки изменится, а длина отрезка и форма фигуры останутся прежними.

Разбор задач

1. Координаты образа точки

Точка A задана координатами (2; −1), а вектор переноса — (3; 2). Нужно найти координаты A′. Первая координата вектора показывает сдвиг по горизонтали, а вторая — по вертикали. Поэтому к координатам точки прибавим соответствующие координаты вектора.

1. Запишем координаты точки: x = 2, y = −1.
2. Прибавим к первой координате первую координату вектора: 2 + 3 = 5.
3. Прибавим ко второй координате вторую координату вектора: −1 + 2 = 1.

Получили A′ = (5; 1). Проверка: вектор от A до A′ равен (5 − 2; 1 − (−1)) = (3; 2), то есть вектору переноса. Ответ: A′(5; 1).

2. Образ отрезка при переносе

Постройте образ отрезка AB при переносе на заданный вектор. Отрезок имеет только два конца, поэтому сначала достаточно построить образы точек A и B. Обе точки нужно перемещать одним вектором: так сохранятся и направление, и длина отрезка. После этого образ отрезка соединит полученные образы концов.

1. Приложите начало вектора переноса к точке A и постройте его конец A′.
2. Тем же вектором перенесите точку B и отметьте точку B′.
3. Соедините A′ и B′ отрезком.

Отрезок A′B′ — искомый образ AB. При проверке убедитесь, что AA′ и BB′ равны вектору переноса, а A′B′ параллелен AB и имеет такую же длину. Ответ: образ отрезка — A′B′.

3. Образ треугольника

Постройте образ треугольника ABC при заданном переносе и обоснуйте, что он равен исходному. У треугольника три вершины, поэтому перенесём каждую из них одним и тем же вектором. Затем соединим образы в прежнем порядке. Чтобы обосновать равенство треугольников, сравним соответствующие стороны и углы.

1. Постройте A′ так, чтобы AA′ равнялся вектору переноса.
2. Тем же способом постройте B′ и C′, используя этот же вектор.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′.
4. Сравните стороны и углы треугольников ABC и A′B′C′.

При переносе длины всех сторон и величины углов сохраняются, поэтому соответствующие стороны и углы двух треугольников равны. Значит, треугольник A′B′C′ равен треугольнику ABC. Ответ: образ построен переносом всех трёх вершин, и он равен исходному треугольнику.

Типичные ошибки

Ошибка — перемещать разные точки в разных направлениях или на разные расстояния. Так поступают, когда строят образ каждой точки отдельно и забывают про общий вектор. Проверьте для каждой точки, что вектор от неё до образа один и тот же. Если векторы различаются, перенос выполнен неверно.

Иногда вектор откладывают в противоположном направлении. Это происходит, если смотреть только на длину отрезка и не учитывать, куда указывает стрелка. Перед построением сравните направление движения с направлением вектора переноса. Если образ оказался по другую сторону от исходной точки, вероятно, использован противоположный вектор.

Если перенести только часть вершин многоугольника, нельзя получить образ всей фигуры. Обычно так происходит, когда забывают, что перенос касается всех её точек. Пересчитайте вершины исходного многоугольника и убедитесь, что для каждой построена соответствующая точка. Затем соедините образы в прежнем порядке.

Неверно считать, что перенос меняет размеры фигуры. Положение меняется, но длины и углы сохраняются; ошибку могут вызвать неточный чертёж или смешение переноса с растяжением. Сравните длины соответствующих отрезков и величины углов. Если по построению они изменились, проверьте, одинаково ли перенесены точки.

Связь с другими темами

Для изучения переноса нужны точки, отрезки, прямые и параллельные прямые. Ещё понадобится понятие вектора: он задаёт направление и расстояние сдвига. Знание координат помогает описывать перемещение числами и строить образы на координатной плоскости. Поэтому полезно уверенно читать координаты точки и находить разность чисел.

Параллельный перенос относится к движениям фигур, при которых сохраняются расстояния. Он пригодится при изучении других движений и симметрий, а также при построении изображений фигур на координатной плоскости. Например, по координатам можно быстро найти новое положение каждой вершины. Так геометрическое построение связывается с вычислениями.

Что запомнить

• Перенос задаётся одним вектором.
• Все точки перемещаются на одинаковое расстояние в одном направлении.
• Вектор от точки к её образу равен вектору переноса.
• Длины отрезков и величины углов при переносе сохраняются.
• Образ отрезка параллелен исходному отрезку или совпадает с ним.
• Для построения образа многоугольника достаточно перенести все его вершины.