13.1. Знакомство с параллельным переносом фигур

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Проще говоря, фигуру как будто сдвигают, не поворачивая и не растягивая. Это понятие нужно, чтобы точно описывать такой сдвиг и отличать его от других изменений фигуры.

Вектор параллельного переноса — вектор, задающий направление и длину перемещения всех точек фигуры. Вектор изображают направленным отрезком: его стрелка показывает, куда двигаться, а длина отрезка — насколько. Он нужен, чтобы задать перенос одним общим правилом для всей фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Если точка A переходит в A′, это записывают так: A → A′. Такая запись помогает видеть, какая точка получилась из каждой исходной, и не путать их при построении.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Например, образ треугольника составляют образы всех его вершин, соединённые сторонами. Это понятие нужно, чтобы описать результат переноса не одной точки, а целой фигуры.

Как это устроено

Перенос задают одним вектором, потому что этот вектор сразу сообщает две вещи: куда перемещать точки и на какое расстояние. Если для разных точек выбрать разные направления или длины, части фигуры сдвинутся неодинаково, и прежнее расположение нарушится. Один вектор действует на каждую точку одинаково, поэтому правило остаётся простым и точным.

Чтобы построить образ точки, приложи начало вектора к исходной точке и отложи от неё отрезок с той же длиной и направлением, что у вектора. Конец отрезка и будет образом точки. Такой способ работает потому, что параллельный перенос требует одинакового перемещения для всех точек, а не просто попадания в какое-нибудь новое место.

Для переноса многоугольника построй образы его вершин, затем соедини их в прежнем порядке: например, A′ с B′, B′ с C′ и так далее. Стороны фигуры прямые, поэтому после переноса достаточно правильно перенести их концы. Если соединить точки не в том порядке, линии могут пересечься или образовать другую фигуру.

При переносе сохраняется расстояние между любыми двумя точками: обе точки сдвигаются одинаково, поэтому их взаимное расположение не меняется. Из этого следует, что длины сторон остаются прежними, а углы между сторонами не изменяются. Значит, у фигуры остаются та же форма и те же размеры, хотя она оказывается в другом месте.

Если известны точка и её образ, например A и A′, вектор переноса можно определить по направлению от A к A′ и длине отрезка AA′. Затем такой же вектор откладывают от каждой другой вершины. Это удобно, потому что одного соответствия достаточно, чтобы установить общий сдвиг и применить его ко всей фигуре.

Что сохраняется при параллельном переносе

Таблица показывает, какие свойства меняются, а какие остаются прежними при переносе. Сравнивай соответствующие точки и элементы исходной фигуры и её образа. Так можно проверить, правильно ли выполнено построение.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге перенесите точку A на 3 клетки вправо и 2 клетки вверх. Отметьте её образ A′. Здесь направление задано одновременно по горизонтали и вертикали, поэтому нужно отсчитать оба перемещения от одной и той же точки.

1. Найди точку A на клетчатой бумаге и выбери направление вправо.
2. От A отсчитай 3 клетки вправо, не меняя ряда клеток.
3. От полученного места поднимись на 2 клетки вверх и поставь точку A′.

Ответ: A′ находится на 3 клетки правее и на 2 клетки выше A. Проверка простая: стрелка от A к A′ должна задавать то же направление и длину перемещения.

Задача 2. Даны вершины треугольника ABC и вектор переноса. Постройте треугольник A′B′C′ — образ ABC. Важно применить вектор к каждой вершине, иначе получится только часть образа. После построения проверь, что стороны соединены в том же порядке.

1. Отметь начало вектора у вершины A и построй равный ему по длине и направлению отрезок; его конец обозначь A′.
2. Повтори такое же построение от B и C, получив B′ и C′.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′, затем C′ с A′.

Ответ: треугольник A′B′C′ является образом ABC. Все его вершины сдвинуты на один заданный вектор, поэтому соответствующие стороны и углы сохраняют свои величины.

Задача 3. Точка A перешла в A′. Используя этот перенос, постройте образ четырёхугольника ABCD и объясните, почему его стороны и углы сохранятся. Пара A и A′ позволяет определить сдвиг, который уже можно применить к другим вершинам. Отдельно менять направление или длину для B, C и D нельзя.

1. Проведи стрелку от A к A′: она задаёт вектор переноса.
2. Отложи такой же вектор от B, C и D, отметив образы B′, C′ и D′.
3. Соедини A′, B′, C′, D′ и снова A′ в том же порядке, что и исходные вершины.

Ответ: образ — четырёхугольник A′B′C′D′. Все вершины перемещены на одинаковый вектор, поэтому расстояния между ними и углы не меняются; значит, сохраняются длины сторон и форма фигуры.

Типичные ошибки

Разные расстояния для разных вершин. Так делают, когда отсчитывают клетки невнимательно или считают, что вершины можно сдвигать независимо. Но тогда у фигуры не будет одного общего вектора переноса. Проверь себя: все отрезки от каждой вершины к её образу должны быть равны и сонаправлены.

Путают направление вектора. Иногда образ строят от новой точки к исходной, потому что замечают нужный отрезок, но не учитывают стрелку. В результате получается перемещение в противоположную сторону. Проверяй, что начинаешь именно в исходной точке и движешься по направлению стрелки.

Переносят только одну вершину. Это может показаться достаточным, если перенос уже понятен, но одна новая точка ещё не задаёт образ всего многоугольника. Каждая вершина должна получить соответствующую ей образную точку. Перед соединением пересчитай вершины: ни одна не должна остаться без пары.

Соединяют образы вершин в другом порядке. Такую ошибку допускают, когда после построения точек соединяют ближайшие или удобные на рисунке. Тогда может получиться другая фигура, например с пересекающимися сторонами. Сверь порядок: если исходные стороны идут AB, BC, CD, то образные стороны должны идти A′B′, B′C′, C′D′.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять перенос, нужно уметь строить и обозначать точки и отрезки, а также сравнивать направления и длины. Эти умения позволяют правильно задать вектор и отложить его от каждой вершины. Позже параллельный перенос поможет изучать движения и равенство фигур: он показывает, как фигура может сменить место, не меняя форму и размеры. На координатной плоскости сдвиг также можно задавать одинаковым изменением координат всех точек.

Что запомнить

• Все точки при переносе перемещаются на один и тот же вектор.
• Вектор переноса задаёт направление и длину перемещения.
• Образ точки строят откладыванием вектора от исходной точки.
• Чтобы перенести многоугольник, достаточно перенести все его вершины.
• При параллельном переносе сохраняются длины и углы.
• Образ фигуры равен исходной фигуре.