13.2. Построение образов фигур при параллельном переносе

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Иными словами, все точки отправляются в одном направлении и на одинаковое расстояние. Это определение помогает отличить перенос от перемещения, при котором разные части фигуры сдвигаются по-разному.

Вектор переноса — задаваемый направленный отрезок, определяющий направление и длину перемещения каждой точки. Направление показывают стрелкой, а длину — расстоянием между концами отрезка. Вектор нужен, чтобы точно задать одно правило перемещения для всей фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при параллельном переносе; для точки A её образ обозначают A′. Штрих помогает различать исходную точку и полученную после преобразования. По паре A и A′ можно увидеть, куда переместилась точка и какой отрезок соединяет её с образом.

Образ фигуры — множество образов всех точек этой фигуры при одном и том же параллельном переносе. Например, образ треугольника состоит из образов всех его точек, а не только вершин. Это понятие нужно, чтобы описывать результат переноса всей фигуры, а не отдельного её элемента.

Как это устроено

Построение образа начинается с задания вектора переноса: он указывает, куда и на какое расстояние переместить каждую точку. Без вектора нельзя однозначно определить положение образа: можно выбрать множество направлений и длин. Поэтому сначала отмечают направленный отрезок, который будет служить образцом для всех перемещений. Любую точку затем переносят по этому единому правилу.

Чтобы построить образ точки A, проводят через неё прямую, параллельную вектору переноса, и откладывают отрезок AA′, равный этому вектору и направленный так же. Параллельная прямая задаёт линию движения точки, а равная длина — насколько далеко её нужно переместить. Стрелка важна: если идти по прямой в обратную сторону, точка окажется не там, где требует вектор. Поэтому в конце проверяют и длину AA′, и направление от A к A′.

Образ отрезка строят по образам его концов: достаточно перенести обе конечные точки и соединить полученные точки. Между концами отрезка находятся и другие его точки, но все они перемещаются по тому же правилу. Поэтому их образы расположатся между образами концов, образуя новый отрезок. Такой способ позволяет не строить бесконечно много точек исходного отрезка по отдельности.

Для многоугольника переносят все вершины одним и тем же вектором и соединяют их в прежнем порядке; так получают образ всей фигуры. Вершины задают стороны, а стороны — границу многоугольника, поэтому перенос всех вершин позволяет восстановить его контур. Если соединить образы не в том порядке, стороны могут пересечься или образовать другую фигуру. Единый вектор нужен, чтобы каждый участок границы переместился согласованно с остальными.

При переносе сохраняются форма и размеры фигуры: соответствующие стороны параллельны и равны, а углы и расстояния между точками не меняются. Причина в том, что все точки получают одинаковое смещение: расстояние между любой парой точек остаётся прежним. Поэтому равные стороны остаются равными, а величины углов не изменяются. Образ может занять новое место, но он не становится ни больше, ни меньше и не меняет форму.

Как построить образ фигуры при параллельном переносе

В таблице собраны способы построения для разных фигур и свойства, которые удобно проверить после чертежа. Сначала найди в первом столбце нужный объект, затем выполни действия из третьего столбца. Для проверки сравни направление перемещения каждой точки с заданным вектором.

Разбор задач

Задача 1. Образ точки

Постройте образ точки A при переносе на вектор, заданный отрезком MN. Отрезок MN показывает не просто линию, параллельно которой нужно двигаться: его направление от M к N тоже задаёт условие. Значит, нужно получить точку A′ так, чтобы AA′ имел ту же длину и то же направление, что и MN. Построение можно проверить сравнением этих двух направленных отрезков.

1. Проведите через A прямую, параллельную MN. Эта прямая задаёт возможную линию перемещения точки.
2. Выберите на ней направление, совпадающее с направлением от M к N. Отложите от A в эту сторону отрезок, равный MN.
3. Обозначьте конец отложенного отрезка A′. Проверьте, что AA′ параллелен MN, равен ему по длине и направлен так же.

Ответ: точка A′, построенная по указанному правилу, является образом точки A. Если отложить равный отрезок в противоположную сторону, получится неверная точка. При проверке учитывайте и параллельность, и направление.

Задача 2. Образ отрезка

Постройте образ отрезка AB при переносе на заданный вектор. Можно было бы пытаться переносить множество точек, из которых состоит отрезок, но это не требуется. Отрезок полностью определяется двумя концами, поэтому достаточно найти образы A и B. После этого соединённые образы концов зададут весь перенесённый отрезок.

1. Через A и B проведите прямые, параллельные заданному вектору. На каждой прямой соблюдайте направление вектора.
2. Отложите от A и от B отрезки, равные вектору по длине. Концы этих отрезков обозначьте A′ и B′.
3. Соедините A′ и B′. Полученный отрезок A′B′ — образ исходного отрезка AB.

Ответ: образ отрезка AB — отрезок A′B′. Проверьте, что AA′ и BB′ равны по длине и направлению. Тогда оба конца перенесены одним и тем же вектором, а длина A′B′ совпадает с длиной AB.

Задача 3. Образ треугольника и равные элементы

Постройте образ треугольника ABC при переносе на заданный вектор и укажите, какие элементы исходной фигуры и образа равны. Треугольник задаётся тремя вершинами, поэтому перенос каждой вершины позволит восстановить его стороны. Все три перемещения должны быть одинаковыми по длине и направлению. Равные элементы можно установить по свойствам параллельного переноса.

1. Постройте A′, B′ и C′, перенеся соответственно A, B и C на заданный вектор.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′, затем C′ с A′. Сохраняйте исходный порядок вершин, чтобы получить образ треугольника ABC.
3. Сравните соответствующие элементы: стороны AB и A′B′, BC и B′C′, CA и C′A′, а также углы при соответствующих вершинах.

Ответ: A′B′C′ — образ треугольника ABC. Соответствующие стороны равны и параллельны, а соответствующие углы равны. Значит, треугольники имеют одинаковые форму и размеры; меняется только их положение на плоскости.

Типичные ошибки

Переносят разные точки на отрезки разной длины или в разных направлениях. Так бывает, если строить каждую точку отдельно и забыть, что задан один общий вектор; тогда фигура может растянуться или исказиться. Проверь себя: все отрезки от исходных точек к их образам должны быть равны по длине, параллельны и направлены одинаково. Несовпадение хотя бы одного признака указывает на ошибку.

Строят отрезок, параллельный вектору, но направляют его противоположно. Ошибку легко допустить, потому что параллельность сама по себе не различает два противоположных направления. Сравни стрелки: направление от каждой исходной точки к её образу должно совпадать с направлением заданного вектора. Для проверки мысленно пройди вдоль вектора и убедись, что отрезок откладывался в ту же сторону.

У многоугольника переносят не все вершины или соединяют их в другом порядке. Иногда кажется, что достаточно сдвинуть несколько заметных точек, но пропущенная вершина изменит границу фигуры; неверный порядок соединения может исказить её контур. Сосчитай, сколько вершин было в исходном многоугольнике и сколько образов построено. Затем соединяй соседние образы по кругу в том же порядке, что и исходные вершины.

Считают, что образ обязательно должен находиться рядом с исходной фигурой или не пересекаться с ней. Такое ожидание возникает из-за привычных чертежей, где фигуры рисуют раздельно для наглядности, но правило переноса этого не требует. Образ может располагаться далеко, пересекать исходную фигуру или частично совпадать с ней. Проверь себя не по месту фигуры, а по тому, переместилась ли каждая точка на заданный вектор.

Связь с другими темами

Для построения образов нужно уметь проводить параллельные прямые, откладывать равные отрезки и учитывать направление отрезка. Эти навыки помогают точно построить путь от исходной точки к её образу. Параллельный перенос связан с понятием вектора: один вектор задаёт общее перемещение всех точек фигуры. Он также относится к движениям плоскости и помогает изучать симметрии и другие геометрические преобразования.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Образ точки A обозначают A′.
• Отрезок AA′ равен вектору переноса по длине и направлению.
• Образ отрезка строят по образам его концов.
• Образ многоугольника строят переносом всех его вершин.
• Параллельный перенос сохраняет длины, углы и форму фигуры.