"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Поворот — это преобразование фигуры, при котором все её точки перемещаются вокруг одной неподвижной точки на одинаковый угол и в одном направлении. Неподвижную точку называют центром поворота. Поворот помогает описывать движение предметов, строить симметричные изображения и замечать, как меняется положение фигуры без изменения её формы и размеров. Чтобы выполнить поворот, нужно знать центр, угол и направление: по часовой стрелке или против неё.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот фигуры — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вокруг одной неподвижной точки на одинаковый угол и в одном направлении. Неподвижную точку называют центром поворота и обычно обозначают O. Это определение помогает понять, что фигура движется целиком, а не меняет форму.
Угол поворота — угол между лучом, проведённым из центра к исходной точке, и лучом к её положению после поворота. Его задают в градусах, например 90° или 180°. Угол нужен, чтобы точно указать, насколько повернуть фигуру.
Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при повороте; если A переходит в A′, то A′ — образ точки A. Направление поворота указывают словами: по часовой стрелке или против неё. Эти обозначения позволяют описывать построение и проверять, правильно ли получено новое положение фигуры.
При повороте каждая точка движется по окружности с центром в точке O. Радиус этой окружности равен расстоянию от O до исходной точки, поэтому после поворота расстояние не меняется: OA = OA′. Это объясняет, почему отдельная точка может переместиться, но не приблизиться к центру и не удалиться от него.
Все точки поворачиваются на один и тот же угол и в одну сторону. Если бы для разных точек угол был разным, части фигуры переместились бы неодинаково и форма могла бы исказиться. Общий угол и общее направление заставляют точки двигаться согласованно, поэтому длины отрезков и величины углов сохраняются.
Чтобы повернуть фигуру на чертеже, сначала выбирают центр, величину угла и направление. Затем для каждой вершины находят новое положение: проводят луч от центра к вершине, откладывают от него заданный угол и отмечают на новом луче точку на прежнем расстоянии от центра. Так как расстояние сохраняется, удобно использовать циркуль; если его нет, можно измерить отрезок линейкой.
После построения образов вершин их соединяют в том же порядке, что и исходные вершины. Например, вершины треугольника A, B, C соединяют как A′, B′, C′. Такой порядок не даёт случайно перепутать стороны, а сохранение расстояний от центра помогает проверить каждую новую точку.
Направление особенно важно при углах, не равных 180°. Поворот на 90° по часовой стрелке и поворот на 90° против часовой стрелки дают разные положения. При повороте на 180° направление не меняет результата: точка оказывается на противоположной стороне центра, потому что оба пути приводят к одному и тому же положению.
Поворот на 360° возвращает каждую точку туда, где она была, поскольку полный оборот заканчивается в исходном направлении. Поворот на 0° тоже оставляет фигуру на месте. Эти случаи помогают проверить, что угол описывает именно величину поворота, а не расстояние, на которое переместилась фигура.
| Что рассматриваем | Что происходит при повороте | Как проверить |
|---|---|---|
| Положение точек | Меняется, кроме центра поворота | Сравнить исходное положение и образ |
| Расстояние до центра | Остаётся прежним | Проверить равенство OA и OA′ |
| Длины отрезков и углы фигуры | Не меняются | Сравнить соответствующие стороны и углы |
| Направление поворота | Задаётся по часовой стрелке или против неё | Проследить движение от исходного луча к новому |
Таблица помогает отделить то, что поворот меняет, от того, что остаётся прежним. При построении сначала проверь положение точек, а затем сравни расстояния и размеры фигуры. Если длины или углы изменились, вероятно, ошибка возникла при переносе вершин или их соединении.
Задача. Треугольник ABC нужно повернуть на 90° против часовой стрелки вокруг точки O. Расстояния от центра до вершин равны OA = 2 см, OB = 3 см и OC = 4 см. Требуется построить треугольник A′B′C′ и объяснить, как проверить результат.
Сначала отметим центр O и проведём лучи OA, OB и OC. Они показывают исходное направление каждой вершины относительно центра, поэтому поворачивать нужно каждый луч, а не только одну сторону треугольника.
От каждого луча откладываем угол 90° против часовой стрелки. Получаем направления новых лучей OA′, OB′ и OC′. Направление проверяем, представляя движение от исходного луча против хода часовой стрелки.
На луче OA′ отмечаем точку A′ на расстоянии 2 см от O, на луче OB′ — точку B′ на расстоянии 3 см, а на луче OC′ — точку C′ на расстоянии 4 см. Эти расстояния не меняются, потому что каждая вершина движется по окружности с центром O.
Соединяем A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Получившийся треугольник — образ ABC при повороте. Если соединять вершины в другом порядке, можно получить не ту фигуру, даже если сами точки найдены верно.
Проверяем построение: измеряем OA′, OB′ и OC′ и сравниваем их с исходными расстояниями. Затем сравниваем соответствующие стороны и углы треугольников. Они должны совпадать, поскольку поворот меняет положение фигуры, но не её размеры и форму.
Ответ: треугольник A′B′C′ строится поворотом каждой вершины на 90° против часовой стрелки с сохранением расстояния до O. Проверка показывает, что OA′ = 2 см, OB′ = 3 см, OC′ = 4 см, а форма и размеры треугольника не изменились.
Путают направление поворота. Тогда точку откладывают не с той стороны от исходного луча. Ошибку допускают, когда смотрят только на полученную фигуру, не прослеживая движение. Проверь себя: мысленно поверни луч от его начального положения по часовой стрелке или против неё.
Меняют расстояние до центра. Иногда новую точку ставят на нужном направлении, но слишком близко к центру или далеко от него. Так происходит, если строить на глаз и не использовать циркуль или линейку. Измерь расстояния до центра до и после поворота: они должны быть равны.
Поворачивают только одну вершину или соединяют вершины в другом порядке. В первом случае фигура не получает целостного образа, во втором стороны могут соединить неправильно. Это часто случается, когда торопятся после построения одной точки. Проверь, что образ найдён для каждой вершины и что соединение идёт в исходной последовательности.
Поворот связан с окружностью: образ каждой точки лежит на окружности с центром в центре поворота, а её радиус равен расстоянию до исходной точки. Поэтому знания о радиусе и построении окружностей помогают точно выполнять поворот. Свойство сохранения расстояний связывает поворот с измерением отрезков и сравнением фигур.
Поворот также похож на перемещение предметов в пространстве: например, стрелка часов меняет направление, вращаясь вокруг одной точки. В координатной сетке поворот помогает описывать переход от одной точки к другой. Эти связи полезны при черчении, работе с планами и изучении симметрии.
§ 14. Поворот фигуры на плоскости
