14.1. Поворот фигуры вокруг точки

Определения и обозначения

Поворот фигуры — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается по окружности с центром в одной и той же точке. Например, при повороте треугольника движется не только его вершина, но и каждая точка сторон. Это понятие нужно, чтобы описывать изменение положения фигуры без изменения её размера.

Центр поворота — неподвижная точка, вокруг которой выполняется поворот. Обычно его обозначают буквой O. Он служит общим центром всех окружностей, по которым перемещаются точки фигуры.

Угол поворота — величина и направление, задающие, на какой угол перемещается каждая точка фигуры. Например, можно повернуть фигуру на 90° по часовой стрелке или на 180° против часовой стрелки. Угол нужен, чтобы однозначно определить новое положение точек.

Образ точки или фигуры — точка или фигура, полученная после поворота исходной. Образ точки A часто обозначают A₁, а образ треугольника ABC — A₁B₁C₁. Такие обозначения помогают понять, какие элементы исходной и новой фигур соответствуют друг другу.

Как это устроено

Центр поворота остаётся на месте, потому что он является точкой, относительно которой выполняется движение, а не участником этого движения. Любая другая точка описывает дугу окружности с центром O. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки до центра, поэтому при повороте сохраняется равенство OA = OA₁: точка просто меняет направление луча, но не удаляется от O.

Чтобы построить образ точки A, сначала соединяют A с центром O и проводят окружность с центром O и радиусом OA. Затем от луча OA откладывают заданный угол в указанном направлении: по часовой стрелке или против неё. Конец нового луча на окружности обозначают A₁. Так как OA₁ равно OA, найденная точка действительно находится на нужном расстоянии от центра.

Все точки одной фигуры поворачиваются на один и тот же угол, потому что угол является общим правилом всего преобразования. При этом траектории могут быть разными: точки, расположенные дальше от центра, движутся по окружностям большего радиуса и проходят более длинные дуги. Значит, одинаковым остаётся не пройденное расстояние, а угол между исходным и новым лучами.

Для построения образа отрезка достаточно построить образы его концов и соединить их. У многоугольника строят образы всех вершин, а затем соединяют полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины. Фигура не деформируется: поворот сохраняет длины отрезков и величины углов, потому что все точки движутся согласованно. Меняется только положение фигуры на плоскости.

Основные признаки и построение поворота

Сначала по таблице определите, какой элемент нужно построить или проверить. Затем используйте центр, общий угол и равенство расстояний до центра. Для фигуры особенно важно не менять порядок соединения образов вершин.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Построить образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. Нужно определить не только расстояние новой точки от O, но и правильное направление поворота.

1. Соединяем точки O и A и измеряем отрезок OA.
2. Проводим окружность с центром O и радиусом OA. От луча OA против часовой стрелки откладываем угол 90°.
3. На новом луче отмечаем точку A₁ пересечения с окружностью. Тогда OA₁ = OA, а угол AОA₁ равен 90°.

Ответ. Точка A₁, построенная на окружности радиуса OA под углом 90° против часовой стрелки от луча OA, является образом точки A.

Задача 2

Условие. Построить образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 180° и назвать координаты образов вершин на клетчатой плоскости. При таком повороте каждая точка оказывается по другую сторону от центра.

1. Для каждой вершины проводим прямую через неё и O, измеряем расстояние до O и откладываем такое же расстояние за центром. Получаем A₁, B₁ и C₁.
2. На координатной плоскости используем правило поворота на 180°: если O — начало координат, то (x; y) переходит в (−x; −y).
3. Соединяем A₁, B₁ и C₁ в порядке A, B, C. Так получается треугольник A₁B₁C₁ без изменения его размера.

Ответ. При центре в начале координат координаты образов имеют вид A₁(−xA; −yA), B₁(−xB; −yB), C₁(−xC; −yC). Для конкретных чисел достаточно заменить x и y координатами соответствующей вершины.

Задача 3

Условие. Дан четырёхугольник и его образ после поворота. Требуется определить центр и угол поворота. Известно, какие вершины исходной фигуры соответствуют вершинам образа.

1. Соединяем каждую исходную вершину с её образом, например A с A₁ и B с B₁.
2. Для отрезков AA₁ и BB₁ строим серединные перпендикуляры. Их пересечение является центром O, потому что центр поворота равноудалён от точки и её образа.
3. Соединяем O с соответствующими вершинами и измеряем угол между лучами OA и OA₁. Проверяем, что такой же угол получается для другой пары и направление совпадает.

Ответ. Центр — пересечение серединных перпендикуляров к соответствующим отрезкам, а угол — общий угол между лучами к исходной точке и её образом.

Типичные ошибки

Сохраняют расстояние от точки до исходного положения. Точка должна находиться на том же расстоянии от центра, а не от прежней точки. Проверьте равенство OA и OA₁.

Откладывают угол в противоположном направлении. Ошибку вызывает невнимательность к словам «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Покажите направление стрелкой и сравните его с движением стрелок часов.

Поворачивают вершины на разные углы. Так фигура деформируется, потому что один поворот задаёт один общий угол. Измерьте углы между каждой парой соответствующих лучей: они должны совпадать.

Соединяют образы вершин в неправильном порядке. Тогда стороны могут пересечься или получится другая фигура, иногда похожая на зеркальное отражение. Подписывайте соответствия и соединяйте A₁, B₁, C₁ в том же порядке, что A, B, C.

Связь с другими темами

Для поворота нужны умения строить лучи, окружности и углы, а также пользоваться транспортиром. Тема опирается на равенство отрезков и углов и связана с координатами точек на плоскости.

Позже повороты помогут изучать движения плоскости, симметрию, координатные преобразования и геометрические построения. Эти знания применяются, когда нужно описать перемещение фигуры точным математическим правилом.

Что запомнить

• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол.
• Расстояние от каждой точки до центра поворота сохраняется.
• Направление задаётся словами «по часовой стрелке» или «против часовой стрелки».
• Для построения образа фигуры достаточно построить образы её вершин и соединить их в прежнем порядке.
• При повороте сохраняются длины, углы и форма фигуры.
• Поворот не изменяет размер фигуры, а только меняет её положение.