14.2. Построение образа фигуры при повороте во-круг точки

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, полученная вращением вокруг заданной точки на заданный угол. Например, при повороте точка меняет положение, словно стрелка, закреплённая в одном месте. Это понятие нужно, чтобы точно описывать такое перемещение и строить новую фигуру.

Центр поворота — неподвижная точка, вокруг которой выполняют поворот. Его обычно обозначают буквой O, а другие точки фигуры перемещаются вокруг него. Центр нужен как начало построения: относительно него задают положение каждой новой точки.

Угол поворота — угол, задающий величину и направление поворота; его отсчитывают от исходного положения точки к новому. Направление указывают словами: по часовой стрелке или против неё. Угол нужен, чтобы понять, насколько и в какую сторону переместится точка.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Если точка A переходит в точку A′, то A′ называют образом точки A. Это понятие позволяет говорить не только о перемещении отдельных точек, но и о результате поворота всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить образ фигуры, сначала определяют центр и угол поворота, включая направление вращения. Эти данные задают единственный способ перемещения: один и тот же угол можно отложить в разные стороны, и получатся разные положения. Поэтому перед построением полезно отметить центр и уточнить, куда именно нужно поворачивать.

Образ точки A находят так: проводят луч из центра O через A, затем откладывают от луча OA заданный угол в нужном направлении. Новый луч показывает, где будет находиться образ A′, но одного направления недостаточно, чтобы определить точное место. Поэтому дальше на новом луче отмечают точку, сохраняя расстояние от O до исходной точки.

Расстояние от центра поворота до точки не меняется: если A переходит в A′, то OA = OA′. Точка как будто движется по дуге окружности с центром O, а у каждой точки этой окружности расстояние до центра одинаково. Поэтому при построении образа нужно не приближать и не удалять его от центра, а отложить то же расстояние.

Для многоугольника достаточно построить образы его вершин и соединить их в том же порядке, что и исходные вершины. Стороны многоугольника состоят из точек, которые тоже поворачиваются, поэтому после перемещения вершин нужно восстановить соединения между соседними вершинами. Исходный порядок помогает не перепутать стороны и получить именно образ данной фигуры.

При повороте сохраняются длины и углы, поэтому образ фигуры равен исходной фигуре; если точка совпадает с центром, она остаётся на месте. Длины сохраняются, потому что поворот не растягивает и не сжимает фигуру, а только меняет её положение. Углы также не меняются, поэтому форма остаётся прежней, хотя фигура может оказаться направленной иначе.

Что происходит с элементами фигуры при повороте

Пользуйтесь таблицей как коротким планом построения: сначала найдите, какой элемент дан, затем выполните указанный способ. В последнем столбце перечислены свойства, по которым можно проверить результат. Например, у отрезка после поворота должна сохраниться длина.

Разбор задач

Задача 1. Постройте образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. OA = 3 см. Нужно найти положение A′, а не только указать направление её перемещения. Поэтому при построении одновременно учитываем угол, направление и расстояние от центра.

1. Проведите луч OA и измерьте или отложите на нём отрезок OA длиной 3 см. Это исходное положение точки относительно центра, от которого будем отсчитывать поворот.
2. Из точки O постройте луч, который образует с OA угол 90° против часовой стрелки. Направление важно: если повернуть в противоположную сторону, получится другое положение.
3. На новом луче отложите от точки O расстояние 3 см и обозначьте конец отрезка A′. Так выполняется условие OA = OA′.

Ответ: образ точки — A′ на построенном луче, причём OA′ = 3 см. Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что угол поворота равен 90° и отложен против часовой стрелки. Тогда точка находится на нужном расстоянии и в нужном направлении.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке. Здесь нужно перенести не одну точку, а три вершины. Если построить образ каждой вершины по одному правилу, получится образ всего треугольника.

1. Проведите лучи OA, OB и OC. Они задают исходные направления для каждой вершины, а расстояния OA, OB и OC понадобятся для проверки.
2. Для каждого луча постройте новый луч, повернув его на 60° по часовой стрелке. На них отметьте соответственно A′, B′ и C′ так, чтобы OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC.
3. Соедините A′, B′ и C′ в том же порядке, что вершины исходного треугольника: A′B′, B′C′ и C′A′. Такой порядок сохраняет соответствие сторон.

Ответ: образ треугольника — треугольник A′B′C′. Проверьте, что все три точки повернуты по часовой стрелке на 60° и расстояние каждой из них до O осталось прежним. Если вершины соединены не в исходном порядке, стороны образа будут проведены неверно.

Задача 3. Постройте образ четырёхугольника ABCD при повороте вокруг одной из его вершин A на 90° против часовой стрелки. Укажите, где окажется точка A. Так как центр выбран в вершине A, для неё построение отличается от построения остальных вершин. Остальные точки нужно поворачивать относительно того же центра.

1. Оставьте точку A на месте: она является центром поворота. Следовательно, образ этой вершины совпадает с ней, то есть A′ = A.
2. Постройте образы B′, C′ и D′: от лучей AB, AC и AD отложите углы 90° против часовой стрелки. На новых лучах сохраните исходные расстояния: AB′ = AB, AC′ = AC, AD′ = AD.
3. Соедините вершины A, B′, C′ и D′ именно в этом порядке, а затем замкните четырёхугольник. Так каждая сторона образа соответствует стороне исходной фигуры.

Ответ: точка A останется на месте, а образ четырёхугольника будет ABC′? Нет: его вершины следует обозначить A, B′, C′ и D′. Для проверки проследите, что центр не сдвинут, остальные точки повернуты в заданную сторону, а соседние образы соединены по порядку.

Типичные ошибки

Откладывают угол в противоположную сторону: величина угла может быть верной, но образ окажется по другую сторону от исходного луча. Так происходит, если ученик следит только за числом градусов и не учитывает направление вращения. Проверьте построение по условию: мысленно проследите поворот от луча OA к лучу OA′ и убедитесь, что он идёт в нужную сторону.

Меняют расстояние от центра до точки и получают образ на правильном направлении, но не в правильном месте. Эту ошибку допускают, когда строят только угол и забывают, что поворот не приближает точку к центру и не удаляет её. Измерьте OA и OA′: эти отрезки должны быть равны.

Путают центр поворота с вершиной фигуры и оставляют неподвижной не ту точку. Неподвижна только точка, выбранная центром, даже если она не является вершиной фигуры. Перед построением найдите обозначение центра в условии и проверьте: именно он должен совпасть со своим образом.

Соединяют образы вершин не в исходном порядке, поэтому вместо нужного многоугольника может получиться другая фигура. Ошибка часто возникает, если после построения точек забыть, какие вершины были соседними. Сверьте записи: после A′ должна идти B′, затем C′ и так далее, как в исходном названии фигуры.

Связь с другими темами

Для построения поворота нужны уже знакомые умения: проводить лучи, измерять и строить углы, откладывать отрезки заданной длины. Поворот связан с осевой и центральной симметрией: симметрия относительно точки — частный случай поворота на 180°. Позже поворот поможет изучать движения плоскости, равные фигуры и координатные преобразования. Во всех этих темах важно отличать изменение положения фигуры от изменения её формы.

Что запомнить

• Поворот задают центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся на месте.
• Расстояние от центра до точки при повороте не меняется.
• Образ каждой точки строят отдельно.
• Образ многоугольника получают, соединяя образы вершин в исходном порядке.
• Поворот сохраняет длины и величины углов.