14.3. Новый взгляд на поворот фигуры на плоскости

Определения и обозначения

Поворот фигуры — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается вокруг одной неподвижной точки на один и тот же угол. Например, при повороте треугольника каждая его вершина меняет положение согласованно с остальными. Это определение помогает отличить поворот от перемещения, при котором точки могут двигаться иначе.

Центр поворота — неподвижная точка, относительно которой выполняется поворот. Её обычно обозначают буквой O, но можно использовать и другую заглавную букву. Зная центр, мы понимаем, вокруг какой точки строить образ каждой точки фигуры.

Угол поворота — величина, на которую каждую точку поворачивают вокруг центра. Его измеряют в градусах, например 90° или 120°. Угол нужен, чтобы определить, насколько далеко вдоль окружности переместится точка.

Направление поворота — движение по часовой стрелке или против часовой стрелки. Один и тот же угол при этих направлениях ведёт к разным положениям точки. Поэтому направление обязательно указывают вместе с центром и углом.

Как это устроено

Для задания поворота достаточно назвать центр, угол и направление. Центр показывает, от какой точки отсчитывать движение, угол задаёт его величину, а направление определяет, в какую сторону двигаться. Если убрать любой из этих признаков, точное положение образа не всегда можно определить: например, без направления остаются два возможных положения.

Чтобы построить образ точки A вокруг центра O, сначала измеряют расстояние OA. Затем проводят окружность с центром O и радиусом OA: образ A′ должен лежать именно на ней, потому что поворот не приближает точку к центру и не удаляет её от него. На окружности от луча OA откладывают заданный угол в указанную сторону. Точка, в которой окажется конец нового луча, и есть A′.

Центр поворота остаётся на месте, потому что именно относительно него определено движение. Для любой другой точки расстояние до центра тоже сохраняется: точка перемещается по окружности, а радиус окружности не меняется. Поэтому у образа A′ выполняется равенство OA′ = OA. Если это равенство не выполняется, точка построена неверно.

Отрезок после поворота может изменить направление и положение, но его длина остаётся той же. Это происходит потому, что поворот одинаково перемещает оба конца отрезка, не растягивая и не сжимая расстояние между ними. По той же причине сохраняются величины углов: повёрнутые стороны угла меняют направление вместе, но угол между ними остаётся прежним.

Если выполнить несколько поворотов вокруг одного и того же центра, их можно заменить одним поворотом. Когда направления совпадают, складывают углы; когда они противоположны, учитывают разность углов и направление большего поворота. Например, поворот на 30° по часовой стрелке, а затем на 50° против неё равносилен повороту на 20° против часовой стрелки. Это удобно, когда нужно описать несколько движений одной короткой командой.

Основные свойства поворота фигуры

В таблице сравниваются свойства фигуры до и после поворота. Используй её как проверку построения: если соответствующие длины или углы изменились, значит, образ построен неверно. Центр и направление описывают само преобразование, а остальные строки — то, что происходит с фигурой.

Разбор задач

Образ точки при повороте на 90°

Условие. Построить образ точки A при повороте вокруг точки O на 90° против часовой стрелки. Сначала нужно понять, где может находиться A′, не меняя расстояния до O. Затем на окружности следует отметить направление поворота и угол.

1. Проведи окружность с центром O и радиусом OA. Точка A′ обязана лежать на этой окружности, иначе расстояние до центра изменится. Это сразу ограничивает возможные положения образа.
2. Проведи луч OA и отложи от него угол 90° против часовой стрелки. Направление отсчитывай, глядя от центра O на точку A. Луч, полученный после поворота, пересечёт окружность в точке A′.
3. Обозначь точку пересечения A′ и проверь, что OA′ = OA. Угол между лучами OA и OA′ должен быть равен 90°, а поворот должен идти в указанную сторону. Если обе проверки выполнены, построение верно.

Ответ: A′ — точка пересечения окружности с лучом, полученным поворотом OA на 90° против часовой стрелки.

Образ треугольника при повороте на 120°

Условие. Построить образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 120° по часовой стрелке. Нужно повернуть все вершины одним и тем же способом, иначе стороны треугольника не сохранят свои длины. Полученные образы обозначим A′, B′ и C′.

1. Для вершины A проведи окружность с центром O и радиусом OA. От луча OA отложи 120° по часовой стрелке и отметь на окружности A′. Так же построй B′ на окружности радиуса OB и C′ на окружности радиуса OC.
2. Проверь каждую пару: OA′ = OA, OB′ = OB и OC′ = OC. Для всех трёх вершин угол и направление должны быть одинаковыми. Если для одной точки выбран другой угол, это уже не единый поворот треугольника.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Порядок вершин оставь таким же, как в исходном треугольнике. Тогда полученный треугольник будет образом ABC.

Ответ: треугольник A′B′C′, построенный поворотом каждой вершины на 120° по часовой стрелке.

Как найти параметры поворота

Условие. Даны фигура и её образ; требуется определить центр, угол и направление поворота. Соотнеси каждую вершину исходной фигуры с соответствующей вершиной образа. По одной паре можно проверить перемещение, но для надёжного вывода нужно сравнить несколько пар.

1. Соедини исходную точку с её образом, например A и A′. Построй серединный перпендикуляр к AA′ — прямую, которая делит отрезок пополам и образует с ним прямой угол. Центр поворота должен быть на одинаковом расстоянии от A и A′, поэтому лежит на этой прямой.
2. Повтори построение для другой пары соответствующих точек. Пересечение серединных перпендикуляров укажет центр O. Если прямые не пересекаются в одной подходящей точке, проверь, верно ли сопоставлены вершины и действительно ли фигуры связаны поворотом.
3. Из центра O проведи лучи к точке и её образу. Измерь угол между ними и определи направление от исходного луча к лучу образа. Проверь полученный угол и направление ещё на одной паре: при одном повороте они должны совпадать.

Ответ: центр — пересечение построенных серединных перпендикуляров, угол и направление — одинаковый поворот соответствующих точек.

Типичные ошибки

Иногда разные точки поворачивают на разные углы, потому что строят каждую отдельно и забывают условие единого преобразования. Тогда длины и форма фигуры могут исказиться. Проверь угол между лучами от центра к каждой точке и её образу: он должен быть одинаковым для всех пар.

Другая ошибка — поставить образ точки не на ту окружность. Так бывает, если расстояние до центра оценивают на глаз или забывают, что оно сохраняется. Построй окружность циркулем с центром в центре поворота и радиусом до исходной точки, а затем проверь равенство расстояний до центра.

Направления по часовой стрелке и против неё легко перепутать, особенно если смотреть на рисунок с разных сторон. Чтобы избежать ошибки, начни отсчёт от луча, идущего из центра к точке, и мысленно сравни движение со стрелками часов. После построения проверь, в какую сторону луч действительно повернулся.

Если соединить образы вершин в неправильном порядке, получится другая конфигурация, хотя сами точки могут быть построены верно. Ошибка возникает, когда ориентируются только на то, какие точки расположены ближе друг к другу. Соединяй образы в порядке исходных вершин, например A′–B′–C′, и проверь, что соответствующие стороны сохраняют длины.

Связь с другими темами

Для построения поворота пригодятся умения строить углы и окружности, измерять расстояния и находить точки на плоскости по координатам. Поворот связан с равенством фигур и движением плоскости: фигура меняет положение, но не форму и размер. Позже это преобразование поможет разбирать симметрию, создавать орнаменты и изучать правильные многоугольники. В координатной геометрии поворот описывают как преобразование координат точек.

Что запомнить

• Поворот задаётся центром, углом и направлением.
• Центр поворота остаётся неподвижным.
• Расстояние от каждой точки до центра поворота сохраняется.
• Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол.
• При повороте сохраняются длины отрезков и величины углов.
• Образ фигуры имеет ту же форму и размер, что и исходная фигура.
• Чтобы повернуть многоугольник, достаточно построить образы его вершин и соединить их в исходном порядке.