§1 5. Поворот фигуры в пространстве

Определения и обозначения

Поворот фигуры в пространстве — преобразование, при котором фигура поворачивается вокруг заданной оси на определённый угол. Иными словами, фигура меняет положение, словно её вращают вокруг прямой. Это понятие помогает описывать движения предметов и геометрических моделей.

Ось поворота — прямая, вокруг которой происходит поворот; её точки остаются на месте. Представь, что ось — это стержень, вокруг которого вращается фигура. По оси удобно определять, какие точки не переместятся.

Угол поворота — величина, задающая, на сколько и в какую сторону поворачивают фигуру. Например, поворот на 90° означает четверть полного оборота, но для точного результата нужно ещё указать направление. Угол позволяет описать, насколько далеко фигура сместилась вокруг оси.

Образ фигуры — положение фигуры после поворота; каждой точке исходной фигуры соответствует её новое положение. Например, если точка A перешла в точку A′, то A′ — образ точки A. Понятие образа помогает сравнивать фигуру до поворота и после него.

Как это устроено

Чтобы задать поворот, нужно указать ось, угол и направление. Одна и та же фигура может вращаться вокруг разных прямых, поэтому только угол не определяет результат. Даже при одной оси и одном угле направления вращения могут привести к разным положениям. Все три условия вместе позволяют понять, где окажется каждая точка.

Точки, лежащие на оси, остаются неподвижными, потому что ось служит линией вращения и сама не меняет положения. Остальные точки обращаются вокруг неё. Если отметить путь одной такой точки, получится окружность с центром на оси. Расстояние от точки до оси не меняется, поэтому окружность сохраняет один и тот же радиус во время движения.

При повороте сохраняются расстояния между точками и размеры фигуры. Причина в том, что каждая точка перемещается вокруг оси, не приближаясь к ней и не удаляясь от неё, а взаимное расположение точек фигуры не растягивается и не сжимается. Поэтому длины отрезков и форма остаются прежними. Фигура после поворота равна исходной, хотя может быть расположена иначе.

Положение каждой точки зависит от двух вещей: её расстояния до оси и угла поворота. Расстояние определяет радиус окружности, по которой движется точка, а угол показывает, насколько далеко по этой окружности она переместится. Направление задаёт, в какую сторону происходит движение. Если эти сведения известны, можно определить новое положение точки.

Поворот на 360° составляет полный оборот, поэтому все точки возвращаются туда, откуда начали движение. При повороте на 180° каждая точка вне оси оказывается на противоположной стороне своей окружности. Она остаётся на том же расстоянии от оси, но занимает положение напротив исходного. Точки самой оси и при этом повороте не перемещаются.

Что задаёт и что сохраняет поворот

Пользуйся таблицей, чтобы проверить, меняет ли поворот размеры фигуры. Сравни расстояния между соответствующими точками до и после поворота: они остаются равными. Значит, фигура переместилась, но не растянулась и не изменила форму.

Разбор задач

Задача 1

Фигуру поворачивают вокруг заданной оси на 90°. Нужно указать, какие точки останутся на месте. Сначала следует найти общее свойство неподвижных точек, а затем применить его к фигуре. Величина угла здесь не меняет ответа.

1. При повороте неподвижны точки оси.
2. Найди точки фигуры, лежащие на заданной прямой.
3. Остальные точки не относятся к неподвижным, потому что движутся вокруг оси.

Ответ: останутся на месте точки фигуры, лежащие на оси поворота. Чтобы перечислить их, нужно посмотреть, какие именно точки фигуры принадлежат этой прямой.

Задача 2

Точка находится на расстоянии 3 см от оси. Нужно описать её путь при повороте фигуры вокруг этой оси. Вспомним, что точка вне оси вращается вокруг неё по окружности. Расстояние до оси задаёт радиус пути.

1. Точка не лежит на оси, значит, она перемещается.
2. Её расстояние до оси равно 3 см и при повороте сохраняется.
3. Следовательно, точка проходит по окружности радиусом 3 см с центром на оси поворота.

Ответ: путь точки — окружность с центром на оси поворота и радиусом 3 см. По этой окружности точка движется в направлении, заданном для поворота.

Задача 3

Фигуру повернули вокруг оси на 90°, затем ещё на 180° в том же направлении. Нужно найти один поворот, который даст тот же результат. Так как оба поворота происходят вокруг одной оси и в одном направлении, их углы можно сложить. Затем проверим, не составляет ли сумма полный оборот.

1. Складываем углы: 90° + 180° = 270°.
2. Сумма меньше 360°, поэтому полный оборот не набирается.
3. Искомый поворот выполняется вокруг той же оси на 270° в том же направлении.

Ответ: тот же результат даёт поворот на 270° вокруг заданной оси в прежнем направлении. Если бы сумма углов составила 360°, фигура вернулась бы в исходное положение.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что перемещаются все точки фигуры. Так думают, потому что представляют фигуру как целое, которое целиком сдвигается. Но точки оси неподвижны, ведь именно вокруг неё происходит вращение. Проверь себя: точка, лежащая на оси, не может описывать окружность вокруг этой же оси.

Ошибка: путать ось поворота с траекторией точки. Ось — прямая, а траектория точки вне оси — окружность. Их путают, потому что обе линии связаны с движением. Проверь себя: спроси, что именно движется; если речь о пути отдельной точки, это окружность, а не ось.

Ошибка: считать, что размеры фигуры меняются. Поворот может выглядеть как сложное перемещение, поэтому его путают с растяжением или сжатием. Однако расстояния и длины сохраняются. Чтобы проверить ответ, сравни длину одного и того же отрезка до и после поворота: она должна быть одинаковой.

Ошибка: указывать только угол. Угол сам по себе не говорит, вокруг какой прямой и в какую сторону вращают фигуру. Эту часть условий иногда упускают, потому что сосредотачиваются на числе градусов. Проверь описание: в нём должны быть ось, угол и направление, иначе положение образа может быть неясным.

Связь с другими темами

Для понимания поворота пригодятся знания о прямой, окружности, угле и расстоянии между точками. Они помогают назвать ось, определить путь точки и описать величину вращения. Поворот связан с симметрией и движениями фигур: он меняет положение фигуры, сохраняя её размеры. Это преобразование используют при изучении пространственных моделей и геометрических фигур.

Что запомнить

• Поворот задают осью, углом и направлением.
• Точки оси поворота остаются на месте.
• Точка вне оси движется по окружности с центром на оси.
• Расстояния и размеры фигуры при повороте сохраняются.
• Поворот на 360° возвращает фигуру в исходное положение.
• Образ фигуры после поворота равен исходной фигуре.