15.1. Поворот фигуры вокруг прямой

Определения и обозначения

Поворот вокруг прямой — преобразование пространства, при котором фигура поворачивается на заданный угол вокруг неподвижной прямой. Представь, что фигуру вращают, как стрелку вокруг стержня: её положение меняется, но сам стержень служит осью. Это преобразование помогает описывать движение точек и получать объёмные тела из плоских фигур.

Ось вращения — прямая, вокруг которой выполняется поворот; каждая её точка остаётся на месте. Её можно представить как ось колеса: точки на оси не кружатся вместе с остальными точками. Зная ось, можно определить, какие точки фигуры неподвижны и вокруг чего движутся другие.

Угол поворота — величина, определяющая, насколько фигуру поворачивают вокруг оси и в каком направлении. Например, 90° означает четверть полного оборота, а 360° — полный оборот. Угол нужен, чтобы точно задать, где окажется фигура после движения.

Образ фигуры — фигура, полученная после поворота; образ каждой точки определяется её положением относительно оси и углом поворота. Каждой исходной точке соответствует точка после поворота. Это понятие позволяет проследить, как преобразуется вся фигура, а не только отдельная её часть.

Как это устроено

Возьмём точку, которая не лежит на оси вращения. При повороте она не приближается к оси и не удаляется от неё, поэтому расстояние между ними остаётся постоянным. Если смотреть на точку в плоскости, перпендикулярной оси, она обходит ось по окружности. Центр этой окружности находится там, где ось пересекает эту плоскость.

Плоскость траектории перпендикулярна оси не случайно: движение происходит вокруг оси, а кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Этот перпендикуляр задаёт радиус окружности. Поэтому точка на расстоянии 3 см от оси проходит окружность радиуса 3 см, а не окружность с радиусом, равным длине пройденной дуги.

Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол. При этом каждая точка сохраняет расстояние до оси, а расстояния между точками фигуры тоже не меняются. Именно поэтому фигура после поворота может оказаться в другом месте пространства, но не становится ни больше, ни меньше и не меняет форму.

Точки самой оси неподвижны, потому что ось и есть прямая, вокруг которой выполняют вращение. Когда угол достигает 360°, каждая точка возвращается туда, откуда начала движение: окружность замыкается. Значит, полный оборот возвращает всю фигуру в исходное положение, хотя во время поворота её точки проходили разные участки траекторий.

Если вращать плоскую фигуру, её точки могут пройти множество окружностей, и вместе они образуют объёмное тело. Какое именно тело получится, зависит от формы фигуры и расстояния её частей до оси. Например, прямоугольник, вращающийся вокруг прямой вдоль одной своей стороны, заметает пространство внутри цилиндра: ближняя сторона остаётся на оси, а дальние точки описывают окружности.

Что происходит с фигурами при повороте вокруг прямой

Используй таблицу как подсказку: сначала выясни, лежит ли точка на оси, затем определи, что именно спрашивают о движении. Если требуется описать траекторию, найди расстояние до оси — это радиус окружности. Для всей фигуры отдельно проверь, спрашивают ли о её положении или о сохранении формы и размеров.

Разбор задач

Точка находится на оси вращения. Где окажется её образ после поворота на 90°?

Нужно понять, движется ли точка вместе с остальной фигурой или остаётся на оси. Сам угол в 90° важен для точек вне оси, но здесь точка лежит непосредственно на оси. Поэтому достаточно применить свойство неподвижности точек оси.

1. Отметим, что точка лежит на оси вращения.
2. При повороте каждая точка оси остаётся на месте.
3. Следовательно, образ точки совпадает с исходной точкой; угол поворота этого не меняет.

Ответ: точка останется на прежнем месте.

Точка расположена на расстоянии 3 см от оси. Опишите её траекторию при повороте вокруг оси.

Точка не лежит на оси, значит, при вращении она обходит ось по окружности. Чтобы полностью описать траекторию, нужно указать плоскость и радиус. Радиусом будет расстояние от точки до оси, а плоскость траектории должна быть перпендикулярна оси.

1. Расстояние от точки до оси равно 3 см, поэтому радиус её траектории равен 3 см.
2. Окружность проходит в плоскости, перпендикулярной оси и содержащей эту точку.
3. При повороте на часть оборота точка проходит дугу этой окружности; при полном обороте — всю окружность.

Ответ: точка движется по окружности радиуса 3 см в плоскости, перпендикулярной оси.

Прямоугольник вращают вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Опишите, какое тело получается и какие точки прямоугольника задают его границы.

Сначала представим, что одна сторона прямоугольника совпадает с осью. Её точки не двигаются. Каждая точка противоположной стороны расположена на одинаковом расстоянии от оси и при вращении описывает окружность; точки между сторонами проходят окружности меньшего радиуса.

1. Сторона, лежащая на оси, задаёт высоту будущего тела и остаётся неподвижной.
2. Противоположная ей сторона при полном обороте образует боковую поверхность цилиндра.
3. Две оставшиеся стороны вращаются вокруг оси и заметает круги — основания цилиндра.

Ответ: получается цилиндр. Его боковую поверхность задаёт противоположная оси сторона прямоугольника, а круговые основания — две стороны, соединяющие её с осью.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при повороте перемещаются и точки оси. Так думают, потому что обычно представляют движение всей фигуры сразу. Проверь себя: отметь ось отдельно — любая точка на ней должна совпасть со своим образом.

Ошибка: утверждать, что точка движется по окружности в любой плоскости. На деле её траектория лежит в плоскости, перпендикулярной оси; путаница возникает, если не учитывать направление оси в пространстве. Проведи от точки перпендикуляр к оси: он задаёт радиус и лежит в плоскости траектории.

Ошибка: путать расстояние до оси с длиной дуги, пройденной точкой. Расстояние до оси — это радиус окружности, тогда как длина дуги зависит ещё и от угла поворота. Проверь себя: радиус измеряется от точки до оси кратчайшим путём и не меняется при вращении.

Ошибка: думать, что поворот меняет размеры фигуры. Возможно, так кажется, если фигура повернулась к наблюдателю другой стороной или заняла новое положение. Сравни расстояния между соответствующими точками до и после поворота: они одинаковы, значит, форма и размеры сохранены.

Связь с другими темами

Чтобы описывать поворот, полезно знать, что такое окружность и её радиус, а также понимать, как расположены перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до оси — это длина перпендикуляра от точки до прямой, а траектория точки связана с окружностью. Эти знания помогают точно описывать движение в пространстве.

Поворот связывает плоские фигуры с объёмными телами. Вращая плоскую фигуру вокруг прямой, можно получить тело вращения, например цилиндр или конус. Представление о том, какие точки и стороны создают его поверхность, помогает понять устройство таких тел.

Что запомнить

• Прямая, вокруг которой поворачивают фигуру, называется осью вращения.
• Точки оси при повороте остаются на месте.
• Точка вне оси движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси.
• Радиус этой окружности равен расстоянию от точки до оси.
• Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол.
• Поворот сохраняет форму и размеры фигуры.
• После полного оборота фигура возвращается в исходное положение.