"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Фигура вращения возникает, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой и её точки проходят круговые пути. Так можно получить знакомые пространственные тела: цилиндр, конус и шар. Чтобы представить, как они устроены, нужно следить за движением сторон и точек исходной фигуры. Ось вращения задаёт направление тела, а расстояние до оси помогает определить радиус кругов, из которых оно складывается.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Фигура вращения — пространственное тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Плоская фигура поворачивается целиком, а прямая, вокруг которой происходит движение, называется осью вращения. Это понятие помогает понять, как из плоских фигур получают объёмные тела.
Цилиндр — фигура вращения, которую можно получить, вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон. Эта сторона становится осью, а расстояние до противоположной стороны определяет радиус основания. Такой способ построения позволяет связать стороны прямоугольника с высотой и радиусом цилиндра.
Конус — фигура вращения, которую можно получить, вращая прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов. Катет, выбранный осью, задаёт высоту конуса, а другой катет — радиус его основания. Это соответствие помогает восстановить размеры конуса по сторонам исходного треугольника.
Шар — фигура вращения, которую можно получить, вращая полукруг вокруг его диаметра. Диаметр становится осью вращения, а радиус полукруга задаёт радиус шара. Представление о таком движении объясняет, почему шар — пространственное тело, а не плоская фигура.
Представь плоскую фигуру, нарисованную на листе, и прямую, вокруг которой её поворачивают. Каждая точка фигуры при движении сохраняет расстояние до оси, поэтому проходит окружность с этим расстоянием в качестве радиуса. Точки, лежащие прямо на оси, не перемещаются. Все положения фигуры заполняют пространственное тело, которое и называют фигурой вращения.
Если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон, выбранная сторона остаётся на месте и становится осью цилиндра. У прямоугольника противоположная сторона параллельна оси и находится от неё на одинаковом расстоянии. Поэтому при повороте она описывает окружность, а две её вершины проходят круговые пути, ограничивающие основания цилиндра. Промежуточные точки прямоугольника заполняют боковую поверхность между основаниями. Длина стороны на оси задаёт высоту цилиндра, а ширина прямоугольника — радиус его основания.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета этот катет остаётся на месте, поэтому он задаёт ось и высоту конуса. Второй катет перпендикулярен оси, а его конец описывает окружность. Все точки второго катета проходят круговые пути, образующие основание конуса. Гипотенуза наклонена к оси, и при вращении она заметает боковую поверхность, сходящуюся к вершине.
Полукруг при вращении вокруг своего диаметра устроен иначе: его крайние точки на диаметре остаются на месте, а остальные точки движутся по окружностям. Радиус каждой такой окружности равен расстоянию от соответствующей точки полукруга до диаметра. Эти окружности имеют разные размеры: ближе к середине полукруга они шире, а у концов диаметра сужаются. Заполнение всех положений полукруга образует шар. Наибольшая окружность получается в середине и имеет радиус, равный радиусу исходного полукруга.
В любом таком построении важно смотреть на положение фигуры относительно оси, а не только на её название. Ось определяет направление тела, а расстояние от оси до точки определяет, насколько большой круг эта точка описывает. Если точка удалена от оси на 3 см, её путь — окружность радиуса 3 см. Так можно установить радиусы оснований цилиндра и конуса или понять, какого радиуса получится шар.
| Фигура | Что вращают | Вокруг чего вращают | Что образуется |
|---|---|---|---|
| Цилиндр | Прямоугольник | Одна из его сторон | Сторона становится осью и задаёт высоту; противоположная сторона описывает окружность, задавая радиус основания |
| Конус | Прямоугольный треугольник | Один из катетов | Катет становится осью и задаёт высоту; второй катет задаёт радиус основания |
| Шар | Полукруг | Его диаметр | Точки полукруга описывают круги разных радиусов, вместе образующие шар |
Пользуйся таблицей, чтобы переходить от знакомой плоской фигуры к пространственному телу. Сначала найди, вокруг какой части происходит вращение: она задаёт ось и часто помогает определить высоту. Затем посмотри, какая сторона или точка удалена от оси: это расстояние подскажет радиус.
Условие. Какую фигуру получится, если вращать прямоугольник вокруг одной из его сторон? Назови эту сторону и противоположную ей сторону в полученной фигуре. Проследи, какие пути проходят стороны прямоугольника.
Ответ. Получится цилиндр. Сторона, вокруг которой вращают прямоугольник, станет его осью и задаст высоту, а противоположная сторона опишет окружность основания; расстояние между этими сторонами станет радиусом основания.
Условие. Прямоугольный треугольник вращают вокруг катета длиной 5 см, а второй катет равен 3 см. Нужно назвать получившуюся фигуру, её высоту и радиус основания. Не перепутай катет на оси и катет, который движется вокруг неё.
Ответ. Получится конус высотой 5 см и радиусом основания 3 см. Длина гипотенузы здесь не является высотой: она образует боковую поверхность конуса.
Условие. Для цилиндра высотой 4 см и радиусом 2 см, конуса высотой 5 см и радиусом 3 см и шара радиусом 3 см определи исходную плоскую фигуру и ось вращения. Двигайся от элементов готового тела к сторонам исходной фигуры. Помни, что ось совпадает с той частью фигуры, которая остаётся на месте.
Ответ. Цилиндр: прямоугольник 4 см на 2 см, ось — сторона 4 см. Конус: прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 3 см, ось — катет 5 см. Шар: полукруг радиуса 3 см, ось — его диаметр.
Путать ось вращения с радиусом. Ось — прямая, вокруг которой вращают фигуру, а радиус — расстояние от этой прямой до точки. Их путают, потому что оба понятия описывают положение относительно вращения. Проверь себя: ось задаёт направление и не является длиной, а радиус измеряется в сантиметрах.
Считать, что любой поворот прямоугольника даёт цилиндр. Такой вывод верен для вращения вокруг его стороны, но другая прямая может располагаться относительно прямоугольника иначе и привести к другой фигуре. Ошибка возникает, если не уточнить положение оси. Перед ответом отметь, где находится ось и какую часть фигуры она оставляет на месте.
Называть высотой конуса его боковую сторону. Боковая сторона наклонена, а высота — это расстояние от вершины до плоскости основания, то есть перпендикуляр к основанию. Их принимают за одно и то же, потому что обе соединяют вершину с краем конуса. Проверь себя по исходному треугольнику: катет, вокруг которого вращают, становится высотой, а гипотенуза образует боковую поверхность.
Считать шар плоским кругом. Круг — плоская фигура, а шар занимает часть пространства. Их легко смешать из-за круглого вида на рисунке или в описании вращения. Чтобы проверить себя, спроси, имеет ли объект толщину: круг лежит в плоскости, а шар объёмный.
Чтобы понять фигуры вращения, нужно различать плоские фигуры и пространственные тела, знать, что такое прямая и отрезок, а также уметь отличать окружность от круга. Окружность — линия, а круг — часть плоскости внутри неё; при вращении часто появляются и окружности, и круглые основания. Эти знания помогают точно описывать путь точек и форму полученного тела.
Представление о вращении пригодится при изучении моделей предметов вокруг нас и объёмных тел. Позже можно будет разбирать элементы тел, находить площадь их поверхности и объём. Знакомство с тем, как именно тело устроено, помогает понять, какие размеры нужны для таких вычислений.
Что называют фигурой вращения?
Это пространственное тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Точки фигуры движутся по окружностям или остаются на месте, если лежат на оси.
Почему вращение прямоугольника вокруг его стороны даёт цилиндр?
Сторона, вокруг которой вращают прямоугольник, становится осью цилиндра. Противоположная сторона описывает окружность, а остальные точки прямоугольника заполняют пространство между двумя круглыми основаниями.
Какая сторона треугольника становится высотой конуса?
Высотой конуса становится катет, вокруг которого вращают прямоугольный треугольник. Второй катет задаёт радиус основания.
Как получить шар вращением плоской фигуры?
Нужно вращать полукруг вокруг его диаметра. Точки полукруга описывают окружности разных радиусов, которые вместе заполняют шар.
Чем ось вращения отличается от радиуса?
Ось вращения — прямая, вокруг которой поворачивают плоскую фигуру. Радиус — расстояние от этой оси до точки, движущейся по окружности.
15.2. Фигуры вращения
