§ 16. Осевая симметрия фигур

Определения и обозначения

Осевая симметрия фигуры — преобразование, при котором каждой точке фигуры соответствует точка, отражённая относительно заданной прямой. Такое отражение похоже на изображение в зеркале: точки оказываются по разные стороны прямой. Это понятие нужно, чтобы описывать построение зеркального образа фигуры.

Ось симметрии фигуры — прямая, относительно которой фигура переходит сама в себя. Если отразить фигуру и её части совпадут, прямая является осью. Это определение помогает отличать настоящую ось симметрии от любой прямой, которая просто проходит через фигуру.

Симметричные относительно прямой точки лежат на одном перпендикуляре к этой прямой и на одинаковом расстоянии от неё по разные стороны. Значит, прямая проходит ровно посередине между точками. Это условие позволяет правильно находить пару точек и проверять построение.

Симметричная точка — образ данной точки при отражении относительно прямой. Точка, лежащая на оси, при отражении переходит сама в себя. Это нужно учитывать при построении: такую точку не требуется переносить на другую сторону.

Как это устроено

Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, сначала проводят перпендикуляр от точки к прямой. Перпендикуляр нужен потому, что кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют именно по нему. Затем на другой стороне прямой откладывают равный отрезок. Так новая точка оказывается на том же расстоянии от оси, что и исходная.

Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси и делится ею пополам. Действительно, обе точки лежат на одном перпендикуляре, а их расстояния до оси одинаковы. Поэтому ось пересекает отрезок под прямым углом ровно в его середине. Это свойство удобно использовать, чтобы проверить пару точек.

Фигуру, симметричную данной, строят по её характерным точкам: например, по вершинам многоугольника. Сначала для каждой вершины находят отражение относительно оси. Затем соединяют полученные точки в том же порядке, что и исходные вершины. Такой порядок сохраняет соседство сторон и не даёт случайно получить другую фигуру.

При отражении сохраняются расстояния между точками, углы и форма фигуры, хотя её положение меняется. Причина в том, что каждая точка переносится на одинаковое расстояние через ось, а пары точек отражаются согласованно. Поэтому соответствующие стороны остаются равными, а соответствующие углы — одинаковыми. Например, отражённый треугольник будет той же формы и размера, что исходный.

Проверить, является ли прямая осью симметрии, можно мысленно или с помощью сгибания. При отражении одна часть фигуры должна точно попасть на другую, а не только выглядеть похожей. Если согнуть рисунок по прямой и его половины совпадут, прямая служит осью. Если хотя бы часть контура не совпала, это не ось симметрии.

Признаки осевой симметрии

Сначала найди в таблице то, что требуется проверить: положение точки, отрезка или всей фигуры. Затем сравни рисунок с указанным признаком. Для оси симметрии важно совпадение всей фигуры, а не только отдельных точек.

Разбор задач

Построить точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой

Пусть дана точка A и прямая l. Нужно построить точку A′, отражённую относительно l. Нам понадобятся линейка и угольник: они помогут провести перпендикуляр и отложить равные расстояния.

1. Проведи через A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения через H. Перпендикуляр выбираем потому, что он задаёт кратчайшее расстояние до прямой.
2. Измерь отрезок AH. На том же перпендикуляре по другую сторону от l отметь точку A′ так, чтобы HA′ = AH.
3. Проверь построение: H должна быть серединой AA′, а AA′ — перпендикулярна l. Тогда точки расположены по разные стороны оси на одинаковом расстоянии.

Ответ: точка A′, построенная на перпендикуляре к l так, что HA′ = AH.

Построить треугольник, симметричный данному относительно заданной прямой

Дан треугольник ABC и прямая l. Образ треугольника будет иметь вершины A′, B′ и C′ — отражения исходных вершин. Каждую вершину нужно построить отдельно, иначе невозможно проверить, правильно ли перенесены стороны.

1. Из вершин A, B и C проведи перпендикуляры к прямой l.
2. На каждом перпендикуляре отметь по другую сторону l точки A′, B′ и C′ на расстояниях, равных расстояниям исходных вершин до l.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Сохраняй порядок вершин, чтобы стороны нового треугольника соответствовали сторонам исходного.
4. Проверь, что l делит каждый отрезок AA′, BB′ и CC′ пополам под прямым углом. Если все три условия выполнены, построение верно.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC относительно прямой l.

Определить, какие прямые являются осями симметрии прямоугольника

Рассмотрим прямоугольник и две прямые через середины противоположных сторон, а также его диагонали. Для каждой прямой зададим один вопрос: совместится ли прямоугольник сам с собой после отражения? Недостаточно, чтобы прямая просто проходила через середину фигуры.

1. Отрази прямоугольник мысленно относительно прямой, проходящей через середины верхней и нижней сторон. Его верхняя и нижняя части совпадут.
2. Проверь прямую через середины левой и правой сторон. Левая и правая части также совпадут.
3. Проверь диагональ. У прямоугольника, который не является квадратом, после отражения стороны разной длины меняются местами, поэтому контуры не совпадают.
4. Если прямоугольник — квадрат, его диагонали тоже являются осями: поворот фигуры в результате отражения совмещает равные стороны и контуры.

Ответ: у прямоугольника оси симметрии проходят через середины противоположных сторон; диагонали становятся осями только у квадрата.

Типичные ошибки

Откладывают расстояние до оси не по перпендикуляру. Наклонный отрезок не показывает кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому новая точка не окажется симметричной. Так ошибаются, когда выбирают удобное направление вместо прямого угла. Проверь, что отрезок к оси образует угол 90°.

Откладывают по разные стороны оси неодинаковые расстояния. Тогда ось не будет проходить через середину отрезка между исходной и новой точками. Ошибка часто возникает при измерении линейкой или при неточном переносе отметки. Измерь оба отрезка от оси и сравни их длины.

Считают любую прямую через фигуру осью симметрии. Прямая может делить фигуру на две части, которые всё же не совпадают при отражении. Путают прохождение через середину с настоящей симметрией. Проверь обе части сгибанием или мысленно отрази одну из них.

Соединяют отражённые вершины в неправильном порядке. Тогда стороны могут пересечься или образовать фигуру с другим расположением вершин. Это случается, если соединять точки наугад, а не следовать исходному контуру. Записывай порядок вершин заранее: для ABC соединяй A′B′, B′C′ и C′A′.

Связь с другими темами

Для построения симметричных точек нужно уметь проводить перпендикуляр и измерять расстояние от точки до прямой. Эти навыки уже встречались при работе с углами и отрезками. Осевая симметрия связана с равенством фигур: отражённые фигуры имеют одинаковые размеры и форму. Позже построение симметричных точек пригодится при изучении преобразований фигур и координатного метода, где положение точек описывают с помощью чисел.

Что запомнить

• Симметричные точки находятся по разные стороны оси на одинаковом расстоянии от неё.
• Отрезок между симметричными точками перпендикулярен оси.
• Ось симметрии делит отрезок между симметричными точками пополам.
• Каждая точка на оси при отражении остаётся на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и форму фигуры.
• Ось симметрии — прямая, относительно которой фигура совмещается сама с собой.