22.4. Фигуры вращения

Определения и обозначения

Фигура вращения — тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Например, если раскручивать бумажный круг вокруг его диаметра, все его точки двигаются по круговым дорожкам. Это понятие помогает представить, как из плоского рисунка получается объёмное тело.

Цилиндр — фигура вращения, полученная вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. У цилиндра есть два равных круглых основания и боковая поверхность между ними. Такое описание нужно, чтобы узнавать цилиндр и отличать его от других тел.

Конус — фигура вращения, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У конуса одно круглое основание и вершина, расположенная на оси вращения. Эти части позволяют отличить конус от цилиндра.

Шар — тело, которое получается при вращении полукруга вокруг его диаметра. Все внутренние точки такого тела заполняют объём, а его внешнюю поверхность называют сферой. Различие между шаром и сферой нужно, чтобы не путать тело с одной лишь его оболочкой.

Как это устроено

Представим, что плоская фигура прикреплена к прямой и начинает вращаться вокруг неё. Каждая точка фигуры движется по окружности, а сама фигура проходит через множество положений. Пространство, которое она заметает, и становится объёмным телом. Ось вращения помогает понять, какие точки движутся дальше от центра и какую форму получит тело.

Если прямоугольник вращать вокруг одной из его сторон, эта сторона остаётся на месте и становится осью. Противоположная сторона удалена от оси на одно и то же расстояние, поэтому при движении она описывает круг. Это расстояние становится радиусом цилиндра, а длина стороны-оси — его высотой. Верхняя и нижняя границы прямоугольника образуют два круглых основания, а остальные положения его сторон создают боковую поверхность.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета выбранный катет остаётся осью. Второй катет находится на расстоянии от оси и при движении заметает круг, который становится основанием конуса. Гипотенуза наклонена к оси, поэтому во время вращения она образует боковую поверхность. Точка, где сходятся катеты, движется не по кругу, а остаётся неподвижной и становится вершиной.

Полукруг вращается вокруг своего диаметра, который служит осью. Каждая точка полукруга описывает окружность, причём точки ближе к диаметру образуют маленькие круги, а точки дальше от него — большие. Совокупность этих кругов заполняет всё пространство внутри шара. Поэтому после полного вращения получается не только поверхность, а объёмное тело.

Как плоская фигура при вращении образует тело

Сначала найдите в первом столбце плоскую фигуру и ось, вокруг которой она движется. Затем посмотрите, какое тело указано во втором столбце. Третий и четвёртый столбцы помогают объяснить, откуда берутся круги и части получившегося тела.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Определим, какое тело получится, если прямоугольник вращать вокруг одной из его сторон. Нужно связать исходную фигуру и ось вращения с известным телом. Для этого проследим, что происходит с противоположной стороной прямоугольника.

1. Выбранная сторона прямоугольника становится осью вращения и задаёт высоту тела.
2. Противоположная сторона при движении описывает круг, поэтому появляется круглое основание.
3. Все положения прямоугольника заполняют тело с двумя круглыми основаниями и боковой поверхностью.

Ответ. Получится цилиндр. Его основания — круги, а расстояние между ними определяется стороной, вокруг которой вращали прямоугольник.

Задача 2

Условие. Прямоугольный треугольник вращают вокруг одного из катетов. Требуется назвать тело и указать, какая сторона образует его вершину и боковую поверхность. Рассмотрим движение каждой стороны относительно оси.

1. Катет, вокруг которого вращают треугольник, становится осью.
2. Второй катет движется по окружности и заметает круглое основание.
3. Гипотенуза при вращении наклоняется вокруг оси и образует боковую поверхность, а конец оси становится вершиной.

Ответ. Получится конус. Его боковую поверхность образует гипотенуза, а вершина находится в конце оси, где сходятся катеты.

Задача 3

Условие. Даны три пары: прямоугольник вращают вокруг стороны, прямоугольный треугольник — вокруг катета, полукруг — вокруг диаметра. Нужно соотнести пары с цилиндром, конусом и шаром. Выбор делаем по исходной фигуре и по тому, что образует круг при движении.

1. Прямоугольник и его сторона соответствуют цилиндру: противоположная сторона описывает круг, а две границы дают основания.
2. Прямоугольный треугольник и катет соответствуют конусу: второй катет образует основание, а гипотенуза — боковую поверхность.
3. Полукруг и диаметр соответствуют шару: точки полукруга описывают круги разных размеров и заполняют объём.

Ответ. Соответствия такие: прямоугольник — цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. Проверка состоит в том, чтобы отдельно назвать ось и путь движения остальных точек.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любой поворот плоской фигуры создаёт фигуру вращения. Её допускают, потому что слово «вращение» связывают только с поворотом, но тело появляется тогда, когда фигура заметает объём. Проверьте себя: представьте все положения фигуры, а не одно её новое положение.

Ошибка: путать ось вращения с границей тела. Ось задаёт движение и может находиться внутри тела, поэтому она не обязана быть его внешней частью. Проверьте, вокруг какой прямой двигалась фигура и является ли эта прямая частью поверхности.

Ошибка: называть круг основанием цилиндра или конуса объёмной фигурой. Круг — плоская часть, а цилиндр и конус — тела, которые имеют объём. Для проверки назовите отдельно плоское основание и всё тело целиком.

Ошибка: путать шар и сферу. Шар включает внутреннюю часть, а сфера является только его поверхностью, поэтому эти слова не всегда взаимозаменяемы. Проверьте, идёт ли речь о заполненном объёме или только о внешней оболочке.

Связь с другими темами

Для изучения фигур вращения нужно узнавать прямоугольник, прямоугольный треугольник, полукруг и круг, а также знать стороны и диаметр. Понятие вращения связано с движением и пространственными телами: оно помогает представить объёмные фигуры, их развёртки и измерение размеров. Позже эти знания пригодятся при работе с цилиндрами, конусами и шарами.

Что запомнить

• Фигура вращения получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой.
• Прямоугольник при вращении вокруг стороны образует цилиндр.
• Прямоугольный треугольник при вращении вокруг катета образует конус.
• Полукруг при вращении вокруг диаметра образует шар.
• Круг — плоская фигура, а шар — объёмное тело.
• Поверхность шара называется сферой.