22.3. Призмы

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две равные многоугольные грани лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани являются параллелограммами. Многогранник — объёмное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Это определение помогает отличить призму от других тел: нужно найти две подходящие грани и проверить, как устроена поверхность между ними.

Основания призмы — две равные и параллельные многоугольные грани; их форма задаёт название призмы. Например, при треугольниках в основаниях призма называется треугольной. Основания нужны, чтобы определить вид призмы и быстро посчитать её элементы.

Боковые грани призмы — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Боковые грани образуют поверхность между основаниями, поэтому при подсчёте важно не смешивать их с самими основаниями.

Боковое ребро — ребро, соединяющее вершины разных оснований; высота призмы — расстояние между плоскостями оснований. Ребро — отрезок, по которому встречаются две грани, а вершина — точка соединения рёбер. Высота показывает, насколько далеко расположены основания, и не всегда совпадает с длиной бокового ребра.

Как это устроено

Представь многоугольник и такую же его копию в параллельной плоскости. Если соединить каждую вершину первого многоугольника с соответствующей вершиной второго, получится призма: одинаковые многоугольники станут основаниями, а между ними появятся боковые грани. Равенство копий нужно для того, чтобы противоположные основания имели одинаковую форму и размер.

У призмы столько же боковых граней, сколько сторон у основания. Причина проста: каждой стороне одного основания соответствует сторона второго, а соединение этих двух сторон образует одну боковую грань. Поэтому у пятиугольного основания будет пять боковых граней, у шестиугольного — шесть.

Вершины одного основания соединяются с соответствующими вершинами другого боковыми рёбрами, а сами основания не пересекаются. Соответствующими называют точки, которые занимают одинаковое положение в двух равных многоугольниках. Благодаря такому соединению призма имеет две отдельные торцевые грани и замкнутую поверхность вокруг них.

Прямая призма отличается от наклонной направлением боковых рёбер. В прямой призме эти рёбра перпендикулярны основаниям, то есть образуют с ними прямой угол; поэтому боковые грани оказываются прямоугольниками. У наклонной призмы рёбра идут под углом, и боковые грани остаются параллелограммами, но могут не иметь прямых углов.

Название призмы определяют по многоугольнику в её основании, а не по форме боковой грани. Если основание — треугольник, это треугольная призма; если четырёхугольник — четырёхугольная. Такое правило удобно: достаточно посмотреть на основание, чтобы понять, сколько у призмы боковых граней.

Элементы призмы с n-угольным основанием

В таблице n обозначает число сторон многоугольника в основании. Найди строку с нужным элементом и подставь число сторон основания вместо n. Так можно проверить подсчёт, не перечисляя все элементы по одному.

Разбор задач

Задача 1

У модели две равные треугольные грани, соединённые тремя прямоугольниками. Какой многогранник изображён? Сначала проверим, что треугольные грани могут быть основаниями, а затем выясним, что образуют остальные грани. Прямоугольники являются параллелограммами, поэтому условие соответствует устройству призмы.

1. Выделим две равные треугольные грани: это основания.
2. Проверим боковую часть: три прямоугольника соединяют стороны оснований, а каждый прямоугольник — параллелограмм.
3. Назовём многогранник по форме основания: оно треугольное.

Ответ: изображена треугольная призма. Число боковых граней тоже подтверждает ответ: у треугольника три стороны, значит, боковых граней три.

Задача 2

У призмы в основании пятиугольник. Сколько у неё оснований, боковых граней и всех граней? Основания у любой призмы два, а пятиугольник имеет пять сторон. Каждой стороне основания соответствует одна боковая грань, поэтому сначала найдём их число, а затем прибавим основания.

1. Оснований всегда два.
2. Пятиугольник имеет пять сторон, значит, боковых граней пять.
3. Сложим боковые грани и основания: 5 + 2 = 7.

Ответ: два основания, пять боковых граней и семь граней всего. Проверка по правилу n + 2 даёт тот же результат: 5 + 2 = 7.

Задача 3

У призмы в основании шестиугольник. Сколько у неё вершин и рёбер? Объясни подсчёт по основаниям и боковым рёбрам. В одном шестиугольнике шесть вершин и шесть сторон, а таких оснований у призмы два. Кроме рёбер оснований нужно учесть соединения между ними.

1. В каждом основании по шесть вершин, поэтому всего 6 + 6 = 12 вершин.
2. В двух основаниях вместе 6 + 6 = 12 рёбер.
3. Между соответствующими вершинами проходит ещё шесть боковых рёбер: по одному на каждую вершину основания.
4. Сложим рёбра: 12 + 6 = 18.

Ответ: 12 вершин и 18 рёбер. По общим правилам получаем то же самое: 2n = 12 и 3n = 18 при n = 6.

Типичные ошибки

Ошибка — считать основаниями любые две грани многогранника. Так можно ошибиться, потому что некоторые боковые грани тоже могут выглядеть одинаковыми. Проверь: основания должны быть равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях.

Ошибка — называть боковые грани прямоугольниками у любой призмы. Так думают, потому что часто изображают прямые призмы, у которых боковые рёбра перпендикулярны основаниям. У наклонной призмы боковые грани — параллелограммы, поэтому проверяй, есть ли у бокового ребра прямой угол с основанием.

Ошибка — путать боковые рёбра с рёбрами основания. Все они являются отрезками на поверхности, поэтому при быстром подсчёте их легко смешать. Боковое ребро всегда соединяет вершины разных оснований, а ребро основания лежит внутри одного многоугольника.

Ошибка — считать, что у призмы с n-угольным основанием всего n граней. Число n показывает количество только боковых граней, и основания при таком подсчёте можно забыть. Проверь себя: у призмы обязательно два основания, значит, общее число граней равно n + 2.

Связь с другими темами

Для изучения призм нужно уметь распознавать многоугольники, находить их стороны и вершины, а также понимать, что значит параллельность прямых и плоскостей. Эти знания помогают увидеть, какие грани являются основаниями и как они расположены. Если многоугольник распознан неверно, можно ошибиться и в названии призмы.

Грани, рёбра и вершины есть не только у призм, но и у других многогранников, например у пирамид. Сравнивая такие тела, легче понять, чем они похожи и чем отличаются. Например, у призмы два основания, а у пирамиды одно основание и боковые грани-треугольники.

Призмы используют как модели объёмных тел. Позже эти представления пригодятся, когда нужно будет разбираться в поверхности тела и вычислять её площадь. Умение считать грани и рёбра также помогает описывать форму предметов.

Что запомнить

• У призмы два равных параллельных основания.
• Основания призмы — многоугольники.
• Боковых граней столько же, сколько сторон у основания.
• У прямой призмы боковые грани — прямоугольники.
• Призму называют по форме её основания.
• У призмы с n-угольным основанием 2n вершин, 3n рёбер и n + 2 грани.