22.2. Пирамиды

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой составлена из многоугольников. Это определение помогает узнать пирамиду среди других объёмных фигур: у неё есть одно основание и сходящиеся к общей точке боковые грани.

Основание пирамиды — многоугольник, лежащий в её основании. Он может быть треугольником, четырёхугольником или другим многоугольником. По основанию удобно называть вид пирамиды и считать её элементы: например, у пирамиды с пятиугольным основанием пять сторон основания.

Боковая грань пирамиды — треугольник, образованный стороной основания и вершиной пирамиды. Две другие стороны этого треугольника соединяют концы стороны основания с общей вершиной. Это определение позволяет находить боковые грани и отличать их от основания.

Вершина пирамиды — общая вершина всех её боковых граней, не лежащая в плоскости основания. Плоскость основания — воображаемая ровная поверхность, в которой лежит многоугольник основания. Вершина нужна, чтобы понять, куда сходятся боковые грани и какие отрезки соединяют её с основанием.

Как это устроено

Чтобы построить изображение пирамиды, сначала выбери многоугольник основания и нарисуй его. Затем отметь вершину пирамиды вне плоскости основания: на плоском рисунке это обычно точка над многоугольником. Соедини эту точку со всеми вершинами основания, потому что к каждой из них должна подходить боковая грань. Получившиеся отрезки вместе со сторонами основания показывают рёбра фигуры.

Боковые грани пирамиды являются треугольниками не случайно. Каждая грань соединяет одну сторону основания с общей вершиной, то есть у неё есть три вершины: два конца стороны основания и вершина пирамиды. Три отрезка между этими точками образуют треугольник. Поэтому боковая грань не может быть четырёхугольником.

Число сторон основания определяет число боковых граней, потому что каждой стороне соответствует своя грань. Например, к одной стороне основания примыкает один треугольник, к соседней стороне — другой. Если сторон основания пять, вокруг вершины будет пять боковых треугольников. По той же причине от каждой вершины основания идёт отдельное боковое ребро к вершине пирамиды.

Если основание имеет n сторон и вершин, то у него n рёбер. К n вершинам основания добавляется одна вершина пирамиды, значит, всего вершин n + 1. К рёбрам основания добавляются n боковых рёбер, значит, всего рёбер 2n. Боковых граней n, а вместе с основанием получается n + 1 грань.

Пирамида отличается от призмы устройством оснований и боковых частей. У пирамиды одно основание, а все боковые треугольники сходятся в общей вершине. У призмы есть два равных основания, расположенных параллельно друг другу, а боковые грани соединяют их соответствующие стороны. Поэтому у призмы нет единой вершины, в которой сходятся все боковые грани.

Элементы пирамид с разными основаниями

Чтобы пользоваться таблицей, найди вид пирамиды по форме её основания, а затем прочитай нужное число. Можно проверить результат по правилам: к числу сторон основания прибавляется одна вершина и одна грань, а число рёбер вдвое больше числа сторон. Например, у четырёхугольной пирамиды 5 вершин, 8 рёбер и 5 граней.

Разбор задач

Построение изображения

На рисунке дан многоугольник с отмеченной вершиной вне его плоскости. Нужно понять, какие отрезки добавить, чтобы получилась пирамида. Вершина многоугольника — это точка, где сходятся две его стороны. Каждую такую точку нужно соединить с отмеченной точкой вне основания.

1. Найди все вершины многоугольника основания и посчитай их.
2. Проведи от отмеченной вершины отдельный отрезок к каждой вершине основания.
3. Проверь, что ни одна вершина основания не осталась без соединения: иначе одна из боковых граней не будет построена.

Эти отрезки станут боковыми рёбрами пирамиды, а между каждой парой соседних рёбер появится треугольная грань. Стороны исходного многоугольника останутся рёбрами основания. Значит, именно соединение вершины со всеми вершинами основания завершает построение.

Ответ: нужно провести отрезки от вершины пирамиды ко всем вершинам основания.

Четырёхугольное основание

Основание пирамиды — четырёхугольник. Нужно узнать число боковых граней и общее число граней. Сначала считаем стороны основания: их четыре. Каждой стороне соответствует одна боковая грань, а основание тоже является гранью пирамиды.

1. Число боковых граней равно числу сторон основания: 4.
2. К четырём боковым граням прибавь одно основание: 4 + 1 = 5.

Такой порядок подсчёта помогает не перепутать боковые грани со всеми гранями. Основание не относится к боковым граням, но входит в их общее число. Ответ: 4 боковые грани и 5 граней всего.

Шестиугольное основание

У пирамиды шесть сторон в основании. Надо найти число вершин, рёбер и граней, поэтому удобно посчитать основание отдельно, а затем добавить элементы, связанные с вершиной пирамиды. В основании шесть вершин и шесть рёбер. К каждой вершине основания будет проведено боковое ребро.

1. К шести вершинам основания прибавь вершину пирамиды: 6 + 1 = 7 вершин.
2. К шести рёбрам основания прибавь шесть боковых рёбер: 6 + 6 = 12 рёбер.
3. Число боковых граней равно шести, а с основанием получается 6 + 1 = 7 граней.

Проверь подсчёт: у каждой стороны основания есть своя боковая грань, а у каждой вершины основания — своё боковое ребро. Поэтому ни одна из шести сторон и ни одна из шести вершин не пропущена. Ответ: 7 вершин, 12 рёбер и 7 граней.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вершину пирамиды частью основания. Так думают, потому что на рисунке верхняя точка расположена рядом с основанием, но она не лежит в его плоскости. Проверь себя: вершины основания принадлежат многоугольнику, а вершина пирамиды находится вне него и общая для боковых граней.

Ошибка: считать боковые грани четырёхугольниками. Можно принять за грань область, ограниченную несколькими линиями на рисунке, но боковая грань соединяет только одну сторону основания с общей вершиной. Проверь, сколько у неё вершин: два конца стороны основания и вершина пирамиды, значит, грань треугольная.

Ошибка: путать число боковых граней с общим числом граней. Боковые грани заметнее на рисунке, поэтому основание легко забыть. Для проверки сначала посчитай боковые грани по сторонам основания, затем прибавь одну грань — само основание.

Ошибка: забывать боковые рёбра при подсчёте. Иногда считают только рёбра основания, потому что они образуют знакомый многоугольник. Проверь каждую вершину основания: от неё должен идти отдельный отрезок к вершине пирамиды. Значит, боковых рёбер столько же, сколько вершин у основания.

Связь с другими темами

Перед изучением пирамид нужно уметь различать многоугольники и находить у них стороны и вершины. Также важно узнавать треугольник, потому что из треугольников состоят боковые грани пирамиды. Эти знания позволяют не просто запомнить название фигуры, а понять, как она построена.

Пирамида относится к многогранникам, поэтому её изучение помогает разбирать объёмные геометрические тела и их развёртки. Развёртка показывает грани фигуры на плоскости: у пирамиды в неё входят основание и боковые треугольники. Позже умение считать элементы многогранника пригодится при изучении других пространственных фигур.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники.
• У всех боковых граней одна общая вершина.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• Общее число граней на одну больше числа сторон основания.
• К вершинам основания добавляется одна вершина пирамиды.