22.1. Общие признаки многогранников

Определения и обозначения

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Это объёмная фигура, а не плоский рисунок; такое определение помогает отличить, например, куб от квадрата.

Грань многогранника — многоугольник, составляющий его поверхность. У куба каждая грань имеет форму квадрата, а у пирамиды среди граней есть треугольники. Грани помогают описывать, из каких плоских частей составлено тело.

Ребро многогранника — сторона грани, по которой встречаются две грани. На рисунке ребро выглядит как линия, но оно относится к объёмному телу и разделяет соседние грани. Это понятие нужно, чтобы находить места их соединения.

Вершина многогранника — конец ребра и место встречи нескольких граней. На изображении это точка, из которой выходят рёбра. Вершины помогают определять, как устроено тело, и считать его элементы.

Как это устроено

Чтобы отличить объёмное тело от плоской фигуры, сначала посмотри, есть ли у изображённого предмета глубина: можно ли представить его переднюю и заднюю части. Затем проверь поверхность: у многогранника она складывается из многоугольников. Квадрат сам по себе плоский, поэтому многогранником не является; куб изображают объёмным, и его поверхность состоит из квадратных граней.

Поверхность многогранника плоская на каждом участке, потому что каждый её участок — отдельный многоугольник. У многоугольника прямые стороны, а не закруглённые линии, поэтому шар с гладкой поверхностью не подходит под это определение. Если хотя бы часть поверхности тела кривая, всё тело нельзя назвать многогранником. Так можно проверить, не обманывает ли рисунок, показывающий предмет в перспективе.

Элементы многогранника связаны последовательно. Сначала видим многоугольники, из которых сложена поверхность: это грани; стороны этих многоугольников становятся рёбрами; концы рёбер — вершинами. Например, у куба квадратная грань ограничена четырьмя рёбрами, а каждое ребро заканчивается в вершине. Эта связь помогает понять, что именно нужно считать, когда спрашивают число граней, рёбер или вершин.

Грани соприкасаются сторонами, а не только углами: общая сторона двух соседних граней и есть ребро. Поэтому обычно каждое ребро принадлежит двум граням — по одной с каждой стороны от него. Если на рисунке ребро кажется частью одной грани, мысленно проследи за телом: рядом с ним должна находиться другая грань, пусть даже она скрыта от взгляда.

Куб и пирамида показывают, что многогранники могут выглядеть по-разному. У куба грани одинаковые, а у пирамиды боковые грани сходятся к общей вершине; у других многогранников могут отличаться и форма, и число граней. Общее у них не внешний вид, а устройство: плоские многоугольники составляют поверхность, их стороны образуют рёбра, а рёбра соединяются в вершинах.

Элементы многогранника и их признаки

Пользуйся таблицей по вопросу: ищешь плоскую область — это грань, линию между гранями — ребро, точку соединения рёбер — вершина. Если элемент закрыт частью тела, учитывай его мысленно, даже когда на рисунке его не видно.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены куб, шар и плоский квадрат. Определи, какие из них являются многогранниками, и объясни почему.

1. Проверим, какие изображения показывают объёмные тела. Куб и шар объёмные, а квадрат — плоская фигура.
2. У куба поверхность состоит из квадратов, то есть многоугольников. Значит, куб является многогранником.
3. У шара поверхность закруглённая, а не составленная из многоугольников. Поэтому шар не многогранник; плоский квадрат тоже не многогранник, потому что он не объёмное тело.

Ответ: куб является многогранником, шар и плоский квадрат — нет.

Задача 2. На рисунке куба назови одну грань, одно ребро и одну вершину.

1. Выбери видимую квадратную область на кубе. Она ограничена четырьмя линиями и является гранью.
2. Найди одну из линий, где эта область соприкасается с соседней квадратной областью. Это ребро куба.
3. Выбери конец найденного ребра — точку, где сходятся несколько рёбер. Это вершина.

Например, можно назвать переднюю квадратную область гранью, её верхнюю сторону — ребром, а левый верхний конец этой стороны — вершиной. Названия «передняя», «верхняя» и «левая» зависят от того, как куб повёрнут на рисунке, поэтому описывай выбранные части точно.

Ответ: грань — передняя квадратная область, ребро — её верхняя сторона, вершина — левый верхний конец этой стороны.

Задача 3. У многогранника каждая грань — треугольник. По рисунку определи число граней, рёбер и вершин.

1. Сначала пересчитай все треугольные области поверхности. Не считай только те, что хорошо видны: проверь, не закрыты ли другие грани телом.
2. Затем проследи каждую линию встречи двух граней и посчитай рёбра. Скрытое ребро тоже относится к телу, даже если его не нарисовали сплошной линией.
3. Наконец, найди все места соединения рёбер и посчитай вершины. Чтобы не повторить вершину, отмечай уже посчитанные точки мысленно.
4. Без самого рисунка нельзя установить конкретные числа: разные многогранники могут иметь только треугольные грани. Например, у треугольной пирамиды четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины.

Ответ: число элементов определяют по рисунку; если на нём изображена треугольная пирамида, это 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины.

Типичные ошибки

Ребро иногда называют гранью, потому что на рисунке и то и другое можно увидеть. Но грань — целая плоская область, а ребро — только её сторона, общая с соседней гранью. Проверь себя: если выбранное место выглядит как линия, а не как многоугольная область, это ребро.

Вершиной считают любую точку на контуре изображения, хотя вершина — только место соединения рёбер. Ошибка возникает, если принять за вершину изгиб линии или случайную точку, где линия продолжается. Проверь, сходятся ли в выбранной точке несколько рёбер; если нет, это не вершина многогранника.

При подсчёте можно учесть только видимые рёбра и вершины. Так происходит потому, что задняя часть тела закрыта передней, но от этого элементы не исчезают. Мысленно восстанови форму целиком, осмотри невидимую сторону и учитывай пунктирные линии, если они есть.

Не всякая фигура, нарисованная объёмно, является многогранником: шар тоже выглядит объёмным. Ошибку допускают, если проверяют только наличие глубины и не рассматривают поверхность. Проверь, состоит ли она из многоугольников; закруглённый участок означает, что это не многогранник.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать многоугольники, их стороны и вершины: из них составлены грани и рёбра многогранника. Понятия граней, рёбер и вершин понадобятся при изучении куба, прямоугольного параллелепипеда, призм и пирамид. Умение читать пространственные рисунки поможет разбираться в объёмных телах, а позднее — находить их площади и объёмы.

Что запомнить

• Многогранник — объёмное тело с поверхностью из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности многогранника называют гранями.
• Стороны граней образуют рёбра многогранника.
• Концы рёбер — вершины многогранника.
• На рисунке часть рёбер и вершин может быть скрыта.
• У многогранников могут быть разные форма и число граней, рёбер и вершин.