"Математика. Наглядная геометрия", Панчищина В.А.
Многогранники и фигуры вращения — объёмные тела, которые можно увидеть в предметах вокруг нас. У многогранника поверхность состоит из плоских многоугольников, а у фигуры вращения есть гладкая или круглая поверхность. По форме поверхности можно понять, к какому виду относится тело, и описать его части. Эти знания помогают узнавать геометрические формы в быту, строить модели и выбирать подходящий способ решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — объёмное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Каждый многоугольник на поверхности называют гранью. Это определение помогает отличить многогранник от тел с округлой поверхностью и описать, из каких плоских частей он состоит.
Ребро многогранника — сторона, по которой встречаются две грани, а вершина — точка, где сходятся рёбра. У куба можно найти грани, рёбра и вершины, поэтому его удобно использовать как простую модель многогранника. Эти названия нужны, чтобы точно рассказывать о строении тела и сравнивать разные многогранники.
Фигура вращения — объёмное тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой, называемой осью вращения. Например, если прямоугольник вращать вокруг одной из его сторон, получится цилиндр. Понятие оси помогает представить, почему у такого тела появляются круглые основания и округлая боковая поверхность.
Призма и пирамида — виды многогранников. У призмы два равных основания, расположенных параллельно, а у пирамиды одно основание и боковые грани-треугольники, сходящиеся в общей вершине. Эти признаки позволяют распознать тела, даже если они повёрнуты или нарисованы в непривычном положении.
Многогранник ограничен плоскими гранями, потому что каждая его часть поверхности является многоугольником. Когда две грани соединяются, их общая сторона становится ребром, а место встречи нескольких рёбер — вершиной. Поэтому при изучении многогранника полезно не просто смотреть на общий силуэт, но и считать его грани, рёбра и вершины.
У призмы основания равны и параллельны: одна фигура как будто перенесена в сторону без изменения формы. Боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований, поэтому у прямой призмы они имеют форму прямоугольников. Название призмы зависит от формы основания: например, если основание — треугольник, это треугольная призма.
У пирамиды боковые грани имеют общую вершину, потому что они соединяют стороны основания с одной точкой вне его плоскости. Если основание многоугольное, каждой его стороне соответствует треугольная боковая грань. Поэтому у пирамиды только одно основание, а её боковая поверхность как бы поднимается от него к вершине.
Цилиндр можно представить как след движения круга: круг перемещается вдоль прямой, не меняя размера. Если вместо этого вращать прямоугольник вокруг одной стороны, его противоположная сторона описывает круг, а остальные точки образуют боковую поверхность. Так появляются два равных круглых основания и поверхность между ними; у цилиндра нет многогранных граней и рёбер.
Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Один катет становится осью, другой описывает круг — основание, а гипотенуза образует боковую поверхность. Все круговые сечения, параллельные основанию, становятся меньше по мере приближения к вершине, поэтому конус сужается.
Шар образуется при вращении полукруга вокруг его диаметра. Каждая точка дуги описывает окружность, а все такие точки вместе создают круглую поверхность без углов и рёбер. Сам шар — объёмное тело, а сферой называют его поверхность; поэтому круг и шар тоже не следует путать: круг плоский, шар занимает часть пространства.
| Тело | Как устроена поверхность | Что помогает узнать |
|---|---|---|
| Призма | Плоские многоугольные грани | Два равных параллельных основания |
| Пирамида | Многоугольные грани | Одно основание, боковые грани сходятся в вершине |
| Цилиндр | Два круга и округлая боковая поверхность | Два равных круглых основания |
| Конус | Круглое основание и округлая боковая поверхность | Одно основание и одна вершина |
| Шар | Округлая поверхность | Нет оснований, рёбер и вершин |
Сначала найди, состоит ли поверхность тела из плоских многоугольников или включает округлую часть. Затем проверь количество и форму оснований, а также наличие вершин. Сравнение признаков помогает не спутать похожие тела, например цилиндр и призму.
Задача. Перед тобой три модели: коробка с двумя одинаковыми прямоугольными основаниями, предмет с круглым основанием и одной верхней точкой, а также мяч. Определи, какое тело является призмой, какое — конусом, а какое — шаром. Объясни, какие признаки помогли сделать вывод.
Сначала рассмотрим коробку. У неё плоские грани, а два прямоугольных основания равны и расположены параллельно, значит, это многогранник вида призмы. Важно опираться на устройство, а не только на то, что предмет похож на коробку.
Теперь рассмотрим предмет с круглым основанием и верхней точкой. У него не многоугольные грани, а округлая боковая поверхность, которая сужается к одной вершине. Эти признаки соответствуют конусу.
У мяча нет плоских оснований, углов и рёбер, а поверхность округлая со всех сторон. Значит, его форма соответствует шару. Мяч может быть не идеальным геометрическим телом, но для задачи мы сравниваем его с моделью.
Проверим ответы по определяющим признакам: у призмы два равных многоугольных основания, у конуса — круглое основание и вершина, у шара — округлая поверхность без оснований и вершин. Каждый набор признаков подходит только к выбранному телу. Следовательно, коробка — призма, предмет с вершиной — конус, мяч — шар.
Ответ: коробка соответствует призме, предмет с круглым основанием и вершиной — конусу, мяч — шару.
Путать круг с шаром. Круг — плоская фигура, а шар — объёмное тело; ошибку допускают, потому что на рисунке шар часто изображают круглым контуром. Проверь себя: можно ли у фигуры выделить внутреннюю часть пространства, или она целиком лежит на плоскости?
Считать цилиндр или конус многогранником. Их поверхности не состоят только из многоугольников, хотя у них есть плоские основания. Чтобы проверить ответ, осмотри всю поверхность, а не только основания.
Называть вершиной любое место, где поверхность меняет направление. Вершина многогранника — точка встречи рёбер, а у шара таких точек нет. Проверь себя: сходятся ли в выбранной точке рёбра и несколько плоских граней?
Путать призму с пирамидой, если смотреть только на боковые грани. У призмы два равных основания, а у пирамиды одно основание и общая вершина боковых граней. Пересчитай основания и проследи, куда направлены боковые грани.
Чтобы разбираться в многогранниках, нужно знать многоугольники: именно из них составлены их грани и основания. Понятия отрезка, стороны и угла помогают описывать рёбра, а прямые углы — узнавать прямоугольные грани и основания. С кругом связаны цилиндр, конус и шар: их основания или поверхности имеют округлую форму.
Эта тема помогает перейти от плоской геометрии к изучению объёмных тел. Она также связана с измерениями: позже можно будет находить длины, площади поверхностей и объёмы тел. Геометрические модели пригодятся при изучении предметов быта, архитектуры и упаковок.
У многогранника поверхность состоит из многоугольников; её части называют гранями, их общие стороны — рёбрами, а точки встречи рёбер — вершинами.
У призмы два равных параллельных основания, а у пирамиды одно основание и боковые грани, сходящиеся в вершине.
Фигура вращения получается при вращении плоской фигуры вокруг оси. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар.
Круг — плоская фигура, шар — объёмное тело, а сфера — поверхность шара. При распознавании тела рассматривай все его поверхности и проверяй характерные признаки.
§ 22. Многогранники и фигуры вращения
