21.2. Задания по теме "Параллельные прямые и четырехугольники на плоскости"

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые обозначены буквами a и b, записывают: a ∥ b. Это обозначение помогает сразу увидеть, какие линии имеют общее свойство.

Четырёхугольник — фигура с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами. Вершины обычно называют по порядку обхода: ABCD, стороны — AB, BC, CD и DA, а диагонали — AC и BD. Такое описание нужно, чтобы не перепутать границу фигуры с отрезками внутри неё.

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Прямой угол равен 90°. Это определение позволяет распознать прямоугольник даже тогда, когда его стороны нарисованы не совсем привычно.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Значит, квадрат одновременно имеет четыре прямых угла и четыре равные стороны. Такое определение показывает, чем квадрат отличается от обычного прямоугольника.

Как это устроено

На чертеже две прямые могут выглядеть одинаково наклонёнными, но этого недостаточно для вывода о параллельности. Рисунок делают приблизительно, поэтому линии иногда кажутся параллельными или пересекающимися, хотя условие говорит иначе. Надёжными основаниями служат запись a ∥ b, специальные отметки или свойства построенной фигуры.

Вершины четырёхугольника называют в порядке движения по его границе: от A переходят к B, затем к C и D, а после D возвращаются к A. Поэтому AB и BC — соседние стороны, а AC соединяет вершины, между которыми есть вершина B. Именно поэтому AC является диагональю, а не стороной.

Чтобы отличить прямоугольник от квадрата, сначала проверяют углы: без четырёх прямых углов фигура не является ни прямоугольником, ни квадратом. Затем сравнивают стороны, потому что равенство сторон не входит в общее определение прямоугольника. Если все стороны равны, прямоугольник подходит и под определение квадрата.

В составном чертеже сначала отделяют то, что дано, от того, что требуется найти или доказать. Например, отметка прямого угла является условием, а вывод о том, что фигура прямоугольная, уже нужно обосновать. Такой порядок помогает не принять предполагаемое свойство за известный факт.

Ответ следует объяснять определением или свойством, использованным в рассуждении. Измерение линейкой может подсказать решение, но не доказывает равенство или параллельность с полной точностью. Поэтому лучше написать: углы прямые по условию, а стороны равны по отметкам или по данному условию.

Как распознавать четырёхугольники и параллельные стороны

В таблице собраны признаки, которые нужно проверять при разборе чертежа. Сначала установите, что перед вами четырёхугольник, затем проверяйте прямые углы и равенство сторон. Отдельно смотрите на параллельность сторон, если она дана или отмечена.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены четыре точки A, B, C и D, соединённые по порядку. Назовите стороны и диагонали четырёхугольника ABCD.

1. Идём по границе фигуры в указанном порядке: от A к B, от B к C, от C к D и от D к A.
2. Получаем стороны AB, BC, CD и DA, потому что каждая соединяет соседние вершины.
3. Оставшиеся пары вершин A и C, B и D не являются соседними, поэтому отрезки AC и BD — диагонали.

Ответ: стороны AB, BC, CD, DA; диагонали AC и BD.

Задача 2. Среди изображённых четырёхугольников нужно найти прямоугольники и квадраты. На чертежах указаны прямые углы и равные стороны.

1. Для каждой фигуры проверяем наличие четырёх отметок прямого угла. Если хотя бы одного прямого угла нет, фигура не является прямоугольником.
2. Среди подходящих фигур проверяем равенство всех четырёх сторон. Отметки равенства показывают, какие стороны имеют одинаковую длину.
3. Фигура с четырьмя прямыми углами и равными сторонами — квадрат. Фигура с четырьмя прямыми углами, но не со всеми равными сторонами — прямоугольник.

Ответ: прямоугольники имеют четыре прямых угла, а квадраты дополнительно имеют четыре равные стороны.

Задача 3. Составьте четырёхугольник ABCD так, чтобы AB и CD были параллельны, а все углы были прямыми. Определите, какие дополнительные условия сделают его квадратом.

1. Располагаем AB и CD как противоположные стороны, направленные параллельно.
2. Строим боковые стороны BC и DA так, чтобы они образовали прямые углы с AB и CD. Получается прямоугольник.
3. Чтобы этот прямоугольник стал квадратом, достаточно добавить равенство соседних сторон, например AB = BC. Тогда все четыре стороны будут равны.

Ответ: сначала получается прямоугольник; условие AB = BC превращает его в квадрат.

Типичные ошибки

Считать прямые параллельными только по виду чертежа — ошибка, потому что рисунок может быть выполнен неточно. Так делают, когда доверяют наклону линий больше, чем условию. Проверьте запись, отметки и свойства фигуры.

Называть диагональю любую сторону нельзя: сторона соединяет соседние вершины, а диагональ — несоседние. Ошибка появляется, если не проследить порядок букв. Проведите мысленно границу четырёхугольника и найдите отрезок, который проходит между её вершинами внутри фигуры.

Любой прямоугольник нельзя считать квадратом, потому что у прямоугольника не обязаны быть равными все стороны. Такая ошибка возникает, когда запоминают только прямые углы. Проверьте отдельным условием равенство всех четырёх сторон.

Нельзя менять порядок вершин при перечислении сторон. Если после A назвать C, отрезок AC может оказаться диагональю, а не частью границы. Проверяйте, что каждая названная сторона соединяет соседние вершины при обходе фигуры.

Связь с другими темами

Для разбора нужны знания о точке, прямой, отрезке, угле и прямом угле, а также умение читать буквенные обозначения. Без этого трудно понять, какие объекты изображены и как они связаны между собой. Повторите эти понятия перед решением задач.

Тема пригодится при изучении видов четырёхугольников и геометрических построений. Позже свойства прямоугольника и квадрата помогут находить их периметр и площадь. Понимание параллельности также облегчает чтение более сложных чертежей.

Что запомнить

• Параллельные прямые не пересекаются и лежат в одной плоскости.
• У четырёхугольника четыре стороны и две диагонали.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• У прямоугольника все углы прямые.
• У квадрата все углы прямые и все стороны равны.
• Каждый квадрат является прямоугольником, но не каждый прямоугольник является квадратом.