22.5. Задания по теме "Многогранники"

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Пространственное значит объёмное: такое тело нельзя полностью нарисовать на плоскости без условных линий. Это определение помогает отличать многогранники от круглых тел, например шара или цилиндра.

Грань многогранника — многоугольник, являющийся частью его поверхности. Например, у куба грани имеют форму квадратов, а у треугольной призмы есть треугольные и прямоугольные грани. По форме и числу граней часто можно определить вид многогранника.

Ребро многогранника — отрезок, по которому пересекаются две грани. Оно является общей стороной соседних многоугольников, поэтому лежит на поверхности тела. Рёбра показывают, где одна грань заканчивается и начинается другая.

Вершина многогранника — точка, в которой сходятся рёбра. Вершины находятся на концах рёбер и обычно выглядят как угловые точки тела. Их подсчёт помогает проверить, не пропущены ли части многогранника.

Как это устроено

Чтобы из многоугольников получилась поверхность многогранника, их стороны соединяют так, чтобы плоские части образовали замкнутое тело. Замкнутая поверхность не имеет открытых краёв: по любой границе одной грани находится другая грань. Если оставить отверстие, получится не многогранник, а незаконченная модель.

Каждая сторона грани становится ребром, когда к ней присоединяется другая грань. Поэтому ребро принадлежит сразу двум соседним граням, а не одной. Концы этого отрезка встречаются с другими рёбрами и становятся вершинами, потому что в этих точках сходятся углы нескольких граней.

На рисунке грань обычно выглядит как многоугольник, ребро — как линия на его границе, а вершина — как точка соединения линий. Часть рёбер может быть показана штриховой линией или скрыта передней гранью. Чтобы не пропустить её, полезно мысленно повернуть модель и проверить все её стороны.

Развёртка получается, если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам и разложить на плоскости. На ней хорошо видны все грани и стороны, которые должны соединиться после сгибания. Если мысленно согнуть развёртку по линиям, можно понять, какое тело получится и не перекрываются ли грани неправильно.

Подсчёт элементов проверяют по форме тела и связи его граней. У каждой грани стороны становятся рёбрами, но одно ребро принадлежит двум граням, поэтому простое сложение сторон даёт повторный счёт. Полезно отдельно пересчитать грани, затем рёбра и вершины, а после сравнить результат с симметрией и известным строением тела.

Элементы многогранника

Пользуйтесь таблицей как проверочным планом: сначала определите, что именно изображено, затем пересчитайте элементы. Если часть тела скрыта, восстановите её мысленно или по развёртке.

Линия на развёртке может быть стороной грани и будущим ребром после сгибания. Поэтому проверяйте, какие две грани соединяются этой линией.

Разбор задач

Куб

Условие: Сколько граней, рёбер и вершин имеет куб? Куб состоит из одинаковых квадратов. Нужно пересчитать каждый вид элемента так, чтобы не учитывать одну часть повторно.

1. У куба две противоположные грани можно представить как верхнюю и нижнюю, а вокруг них расположены ещё четыре боковые грани. Получаем 6 граней.
2. На каждой из четырёх боковых граней видны вертикальные и горизонтальные границы, но при подсчёте общие стороны нельзя считать дважды. У куба 4 верхних, 4 нижних и 4 вертикальных ребра, всего 12 рёбер.
3. Вершины расположены по четыре сверху и снизу. Значит, всего 8 вершин.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Разделение на верхнюю, нижнюю и боковые части помогает не повторять элементы.

Прямоугольный параллелепипед

Условие: Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда различны. Назовите формы его граней и определите число граней каждого вида. Разные размеры позволяют различать три типа прямоугольников.

1. Грань, стороны которой равны длине и ширине, имеет форму прямоугольника. Ей противоположна такая же грань, поэтому их 2.
2. Грани со сторонами длина и высота также являются прямоугольниками. Они расположены напротив друг друга, значит, их 2.
3. Оставшиеся грани имеют стороны ширина и высота. Их тоже 2, поэтому всего получается 6 прямоугольных граней.

Ответ: все грани имеют форму прямоугольника: 2 грани длина × ширина, 2 грани длина × высота и 2 грани ширина × высота.

Развёртка из треугольников и прямоугольников

Условие: Дана развёртка многогранника из двух треугольников и трёх прямоугольников. Определите тело после складывания и найдите число его граней, рёбер и вершин. Нужно сопоставить формы граней и их соединение.

1. Два одинаковых треугольника могут стать основаниями, а три прямоугольника — боковыми стенками между ними. Такая поверхность складывается в треугольную призму.
2. Грани уже перечислены в развёртке: 2 треугольные и 3 прямоугольные, всего 5 граней.
3. У каждого треугольного основания по 3 стороны, а боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований. Получаются 3 ребра на каждом основании и ещё 3 боковых ребра, всего 9.
4. У двух треугольников по 3 вершины, и при складывании они остаются разными точками. Значит, вершин 6.

Ответ: получится треугольная призма; у неё 5 граней, 9 рёбер и 6 вершин.

Типичные ошибки

Считают только видимые рёбра и забывают о тех, что находятся сзади. Так происходит потому, что плоский рисунок показывает тело не полностью. Проверьте себя, мысленно повернув модель или дополнив число по её форме.

Принимают каждую линию внутри рисунка за ребро. Но ребро обязательно является границей двух граней, а линия внутри одной грани может быть просто вспомогательной. Посмотрите, разделяет ли эта линия поверхность на два многоугольника.

Считают одну грань или вершину несколько раз из-за перспективного изображения. Одинаковые части могут казаться разными, если они расположены под разными углами. Отмечайте уже посчитанные элементы мысленно и обходите тело по порядку.

Путают грань, ребро и вершину. Грань — многоугольник, ребро — отрезок, вершина — точка. Для проверки назовите размер объекта: область, линия или точка.

Связь с другими темами

Перед изучением многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины, а также уметь считать элементы плоской фигуры. Тогда грань можно рассматривать как знакомый многоугольник, включённый в объёмное тело.

Эта тема понадобится при изучении куба, прямоугольного параллелепипеда, призм, пирамид и их развёрток. Сведения о гранях, рёбрах и вершинах помогают сравнивать разные тела.

Знания применяются в задачах на объём и площадь поверхности, а также при изготовлении моделей геометрических тел. Развёртка показывает, какие плоские детали нужно вырезать и соединить.

Что запомнить

• Многогранник состоит из многоугольных граней.
• Грань — часть поверхности многогранника.
• Ребро — общая сторона двух граней.
• Вершина — точка соединения рёбер.
• При подсчёте нужно учитывать и видимые, и невидимые элементы.
• Развёртка помогает представить, как грани соединяются в многогранник.