24.3. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются на одинаковое расстояние в одном направлении. Представь, что фигуру передвинули, не поворачивая и не растягивая: каждая её точка проделала одинаковый путь. Это понятие нужно, чтобы описывать точное перемещение фигур на плоскости.

Вектор переноса — направленный отрезок, задающий направление и расстояние переноса. У него есть длина и стрелка: длина показывает, насколько далеко перемещать точки, а стрелка — куда. Вектор нужен, чтобы одинаково и точно задать перемещение для всей фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Например, если точка A переместилась в точку A′, то A′ — образ точки A. Штрих часто используют в обозначении, чтобы отличить новую точку от исходной.

Образ фигуры — фигура, полученная после переноса всех точек исходной фигуры. Если перенесли треугольник, его образ составляют образы трёх вершин и отрезки между ними. Это понятие помогает говорить о результате переноса всей фигуры, а не только одной точки.

Как это устроено

Параллельный перенос задают направлением и расстоянием, потому что слова «переместить точку» сами по себе не говорят, куда и насколько её двигать. Например, «на 3 см» сообщает длину пути, но не указывает, вести точку вправо или влево. Направленный отрезок решает обе задачи сразу: его длина задаёт расстояние, а стрелка — направление. Поэтому при одном переносе для каждой точки используется один и тот же вектор.

Чтобы построить образ точки, от неё откладывают отрезок в направлении переноса и той же длины, что и вектор переноса. Это следует из определения: образ должен находиться на нужном расстоянии и именно с той стороны, куда показывает стрелка. Конец отложенного отрезка и будет образом точки. На клетчатой бумаге смещение можно отсчитать по клеткам, например сначала вправо, затем вверх.

При переносе отрезка достаточно построить образы его концов и соединить их. Отрезок состоит из точек, но отдельное построение каждой из них не требуется: одинаковое смещение концов переносит и все точки между ними. Соединив новые концы, мы получаем образ исходного отрезка. Он остаётся прямым отрезком той же длины.

Образ многоугольника строят переносом каждой вершины, а затем соединяют полученные точки в прежнем порядке. Например, у треугольника ABC нужно найти образы A′, B′ и C′, а затем провести отрезки A′B′, B′C′ и C′A′. Такой порядок нужен, чтобы сохранить соседство вершин и получить тот же контур. Если соединить точки иначе, получится другая фигура.

Перенос сохраняет длины и форму: образ фигуры равен исходной фигуре, хотя может находиться в другом месте. Причина в том, что все точки перемещаются одним и тем же способом, поэтому расстояния между ними не меняются. Углы тоже остаются прежними, а значит, сохраняются и очертания фигуры. Поэтому перенос меняет положение, но не размер и не форму.

Что происходит с фигурами при параллельном переносе

В таблице можно найти, что именно изменится у выбранного объекта, а что останется прежним. Например, у многоугольника сместится положение, но не изменятся длины его сторон и форма. Используй эти свойства для проверки построения: если стороны образа стали другой длины, перенос выполнен неверно.

Разбор задач

Задача 1. На клетчатой бумаге перенесите точку A на 4 клетки вправо и 2 клетки вверх. Обозначьте её образ. Нужно учесть оба направления движения: одного отсчёта вправо недостаточно, потому что точка должна подняться ещё и вверх.

1. Поставь карандаш в точку A и отсчитай от неё 4 клетки вправо.
2. От новой позиции отсчитай 2 клетки вверх; итоговая клетка находится одновременно на 4 клетки правее и на 2 клетки выше A.
3. Обозначь полученную точку A′. Проверь, что смещение можно описать именно словами «4 вправо, 2 вверх».

Ответ: образ A′ находится на 4 клетки правее и на 2 клетки выше точки A.

Задача 2. Постройте образ отрезка AB при переносе на 3 см вправо и 2 см вверх. Так как у отрезка есть два конца, нужно выполнить одинаковое смещение и для A, и для B; иначе его образ получится искажённым.

1. От точки A отложи 3 см вправо, а затем 2 см вверх; полученную точку обозначь A′.
2. От точки B отложи такое же смещение: 3 см вправо и 2 см вверх; полученную точку обозначь B′.
3. Проведи отрезок A′B′. Сравни его длину с AB: при правильном переносе она должна совпасть.

Ответ: образ отрезка — A′B′, где обе конечные точки смещены на 3 см вправо и 2 см вверх.

Задача 3. Постройте образ треугольника ABC при переносе, заданном направленным отрезком MN. Здесь не нужно переносить только одну вершину: все вершины должны получить одинаковое смещение, равное вектору MN и направленное так же.

1. Измерь длину MN и отметь направление от M к N; стрелка показывает, в какую сторону откладывать вектор.
2. Из каждой вершины A, B и C построй отрезок такой же длины, параллельный MN и направленный так же. Концы этих отрезков обозначь A′, B′ и C′.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′, сохраняя порядок исходных вершин. Проверь, что длины сторон и углы треугольника не изменились.

Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′.

Типичные ошибки

Переносят вершины на разные расстояния или в разных направлениях. Такую ошибку допускают, когда строят образ каждой точки отдельно и забывают пользоваться одним и тем же смещением. Проверь себя: векторы от каждой исходной вершины к её образу должны быть равны, параллельны и направлены одинаково.

Откладывают вектор переноса в обратную сторону. Это происходит, если смотрят только на длину отрезка и не замечают стрелку, которая задаёт направление. Сверь движение со стрелкой: например, вектор от M к N нужно откладывать именно от M к N, а не наоборот. Если образ оказался с другой стороны, проверь направление.

Строят образ только одной вершины многоугольника. Одна перенесённая вершина показывает лишь образ точки, но не всей фигуры; ошибка часто возникает из-за того, что хочется сразу нарисовать новый контур. Проверь, что у каждой вершины есть соответствующий образ, и только после этого соединяй их в прежнем порядке.

Считают, что перенос меняет длины или форму фигуры. Такое впечатление может появиться, если новый контур нарисован в другом месте или его стороны начерчены неточно. Перенос меняет положение, но сохраняет размеры и форму. Проверь равенство соответствующих сторон и углов: они должны совпадать с исходными.

Связь с другими темами

Для построения переноса пригодятся умение измерять и откладывать отрезки, пользоваться линейкой и различать направление движения. Эти навыки помогают точно выполнять смещение, а не оценивать его на глаз. Тема также опирается на понятия параллельных прямых, равных отрезков и фигур: вектор образа параллелен исходному и равен ему по длине. Позже перенос поможет изучать движения плоскости, симметрию и построение образов геометрических фигур.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются одинаково.
• Перенос задают направлением и расстоянием.
• Образ точки строят, откладывая вектор переноса от исходной точки.
• Чтобы перенести многоугольник, нужно перенести каждую его вершину.
• Параллельный перенос сохраняет длины, углы и форму фигуры.
• Исходная фигура и её образ равны.